2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Задачка на гауссовы целые
Сообщение06.11.2017, 12:39 
Аватара пользователя


07/01/15
930
Якутск
$x^2 + y^2$ делится на простое $p,$ причем $x$ и $y$ не делятся одновременно на $p.$ Докажите, что $p$ можно представить в виде суммы двух квадратов.

-- 06.11.2017, 13:46 --

(Оффтоп)

"На гауссовы целые... Как-то не так. Лучше было бы назвать задачка о гауссовых целых или что-нибудь такое."
Если Вы так подумали, то я Вас обожаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачка на гауссовы целые
Сообщение07.11.2017, 16:29 
Заслуженный участник


17/09/10
1703

(Оффтоп)

Если не касаться Гауссовых целых, то решение задачи следует из двух хорошо известных классических утверждений.
1. Если число $x^2+y^2$ делится на простое число $p=4n+3$, то и $x$ и $y$ делятся на него.
2. Теорема Ферма-Эйлера. Любое простое число $p =4n+1$, где $n$ — натуральное число, представимо в виде суммы квадратов двух натуральных чисел.
Доказательства можно найти в любом систематическом учебнике по теории чисел.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачка на гауссовы целые
Сообщение07.11.2017, 18:43 
Аватара пользователя


07/01/15
930
Якутск
Ок, так тоже можно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачка на гауссовы целые
Сообщение07.11.2017, 21:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3572

(Оффтоп)

Причём самое естественное доказательство теоремы Ферма–Эйлера — как раз через задачу из первого поста.

Поскольку $x^2+y^2=(x+y\mathrm{i})(x-y\mathrm{i})$ делится на $p$, а $x\pm y\mathrm{i}$ не делятся на $p$, то $p$ разложимо в $\mathbb{Z}[\mathrm{i}]$ (следует из факториальности $\mathbb{Z}[\mathrm{i}]$), то есть $p=(a+b\mathrm{i})(c+d\mathrm{i})$, где $a+b\mathrm{i},c+d\mathrm{i}\notin\{\pm1,\pm\mathrm{i}\}$. Берём квадрат модуля от обеих частей: $p^2=\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)$, откуда $p=a^2+b^2=c^2+d^2$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Xaositect


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group