2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки
01/01/18 20:50 UTC: Перешли на HTTPS в тестовом режиме. О проблемах пишите в ЛС cepesh.





Начать новую тему Ответить на тему
 
 Задачка на гауссовы целые
Сообщение06.11.2017, 12:39 
Аватара пользователя


07/01/15
764
Нюрба
$x^2 + y^2$ делится на простое $p,$ причем $x$ и $y$ не делятся одновременно на $p.$ Докажите, что $p$ можно представить в виде суммы двух квадратов.

-- 06.11.2017, 13:46 --

(Оффтоп)

"На гауссовы целые... Как-то не так. Лучше было бы назвать задачка о гауссовых целых или что-нибудь такое."
Если Вы так подумали, то я Вас обожаю.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачка на гауссовы целые
Сообщение07.11.2017, 16:29 
Заслуженный участник


17/09/10
1636

(Оффтоп)

Если не касаться Гауссовых целых, то решение задачи следует из двух хорошо известных классических утверждений.
1. Если число $x^2+y^2$ делится на простое число $p=4n+3$, то и $x$ и $y$ делятся на него.
2. Теорема Ферма-Эйлера. Любое простое число $p =4n+1$, где $n$ — натуральное число, представимо в виде суммы квадратов двух натуральных чисел.
Доказательства можно найти в любом систематическом учебнике по теории чисел.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачка на гауссовы целые
Сообщение07.11.2017, 18:43 
Аватара пользователя


07/01/15
764
Нюрба
Ок, так тоже можно.

 Профиль  
                  
 
 Re: Задачка на гауссовы целые
Сообщение07.11.2017, 21:16 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


11/01/06
3557

(Оффтоп)

Причём самое естественное доказательство теоремы Ферма–Эйлера — как раз через задачу из первого поста.

Поскольку $x^2+y^2=(x+y\mathrm{i})(x-y\mathrm{i})$ делится на $p$, а $x\pm y\mathrm{i}$ не делятся на $p$, то $p$ разложимо в $\mathbb{Z}[\mathrm{i}]$ (следует из факториальности $\mathbb{Z}[\mathrm{i}]$), то есть $p=(a+b\mathrm{i})(c+d\mathrm{i})$, где $a+b\mathrm{i},c+d\mathrm{i}\notin\{\pm1,\pm\mathrm{i}\}$. Берём квадрат модуля от обеих частей: $p^2=\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)$, откуда $p=a^2+b^2=c^2+d^2$.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 4 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group