Задачка на гауссовы целые

[SomePupil]

$x^2 + y^2$ делится на простое $p,$ причем $x$ и $y$ не делятся одновременно на $p.$ Докажите, что $p$ можно представить в виде суммы двух квадратов.

-- 06.11.2017, 13:46 --

(Оффтоп)

"На гауссовы целые... Как-то не так. Лучше было бы назвать задачка о гауссовых целых или что-нибудь такое."
Если Вы так подумали, то я Вас обожаю.

[scwec]

(Оффтоп)

Если не касаться Гауссовых целых, то решение задачи следует из двух хорошо известных классических утверждений.
1. Если число $x^2+y^2$ делится на простое число $p=4n+3$, то и $x$ и $y$ делятся на него.
2. Теорема Ферма-Эйлера. Любое простое число $p =4n+1$, где $n$ — натуральное число, представимо в виде суммы квадратов двух натуральных чисел.
Доказательства можно найти в любом систематическом учебнике по теории чисел.

[SomePupil]

Ок, так тоже можно.

[RIP]

(Оффтоп)

Причём самое естественное доказательство теоремы Ферма–Эйлера — как раз через задачу из первого поста.

Поскольку $x^2+y^2=(x+y\mathrm{i})(x-y\mathrm{i})$ делится на $p$, а $x\pm y\mathrm{i}$ не делятся на $p$, то $p$ разложимо в $\mathbb{Z}[\mathrm{i}]$ (следует из факториальности $\mathbb{Z}[\mathrm{i}]$), то есть $p=(a+b\mathrm{i})(c+d\mathrm{i})$, где $a+b\mathrm{i},c+d\mathrm{i}\notin\{\pm1,\pm\mathrm{i}\}$. Берём квадрат модуля от обеих частей: $p^2=\left(a^2+b^2\right)\left(c^2+d^2\right)$, откуда $p=a^2+b^2=c^2+d^2$.