Задача по теоретической механике.

[DimaM]

Chefan в сообщении #1262833 писал(а):

2. Каждый из стержней вращается относительно цм стержня.

Разве?

[fred1996]

amon в сообщении #1262878 писал(а):

(pogulyat_vyshel)

$a_O=\frac{F}{2m}\left(1+\frac{1}{2}\tg^2\frac{\alpha}{2}\right)$
$m$ - масса стержня
$\alpha$ - угол между стержнями
пружинка в начальный момент не растянута.
Соврал?

(У меня вышло)

$a=\frac{F}{2m}(1+\frac{3\sin^2(\frac{\alpha}{2})}{1+3\cos^2(\frac{\alpha}{2})})$
Если что, то при $\alpha=\pi$ у вас получается ускорение бесконечность, а у меня $\frac{2F}{m}$, что дает верный ответ в этом тривиальном случае

[pogulyat_vyshel]

(Оффтоп)

fred1996
аналогично

[ludwig51]

realeugene в сообщении #1262839 писал(а):

Задача чисто геометрическая.

Вы правы.
Задача чисто геометрическая.
Наибольшее смещение шарнира равно разности высот треугольников OAB в свободном состоянии пружины и сжатом.
Имеется доказательство.

Подсказка автору темы.
Шарнир связываем с неподвижной системой координат YOX.
Записываем ЗСЭ.
$\frac{k(1,1l-2y)^2}{2}=J_o\omega ^2+m\dot{y}$
$J_o=m\left ( \frac{l}{2} \right )^2$ момент инерции стержней относительно шарнира.
Далее геометрия, математика и логика.

[angor6]

ludwig51 в сообщении #1263129 писал(а):

Задача чисто геометрическая.
Наибольшее смещение шарнира равно разности высот треугольников OAB в свободном состоянии пружины и сжатом.
Имеется доказательство.

А как насчёт сжатого (как я понимаю, соответствующего начальному положению стержней) и ещё более сжатого состояний пружины, то есть наличия её колебаний?

Разумеется, если этот вопрос рассмотрен в имеющемся(?) доказательстве, то всё понятно.

[ludwig51]

angor6 в сообщении #1263134 писал(а):

если этот вопрос рассмотрен в имеющемся(?) доказательстве

Если я приведу решение уравнения ЗСЭ, то я решу задачу вместо автора темы. А это недопустимо по правилам.

-- 07.11.2017, 15:36 --

angor6 в сообщении #1263134 писал(а):

то есть наличия её колебаний?

Если шарнир закреплён в начале координат, то, скорее всего, возникнет колебательный процесс.
Но это уже другая задача.

[DimaM]

ludwig51 в сообщении #1263139 писал(а):

Если шарнир закреплён в начале координат, то, скорее всего, возникнет колебательный процесс.

Если не закреплен, тоже скорее всего возникнет.

[ludwig51]

Для начала решим задачу, если шарнир закреплён в начале координат.
Начальные условия.
Угол раствора стержней $\alpha =60°$
В решении я использую текущий угол $\varphi=\alpha /2$
Сила, действующая на стрежни $F=k(1,1l-2y)\,(1)$, всегда направлена по оси y.
Рассматриваем верхний стержень.
Момент силы относительно начала координат.
$M=Flcos\varphi \,(2)$
Момент импульса
$L=J_o\dot{\varphi} \,(3)$
Момент инерции стержня относительно начала координат
$J_o=ml^2/4\,(4)$
(2) можно записать в виде
$M=\frac{dL}{dt}=J_o\ddot{\varphi} \,(5)$
Сравним (2) и (5). Учтём, что $y=l\sin\varphi $
Получим дифференциальное уравнение:
$\ddot{\varphi}=\frac{4k}{m}(1,1\cos\varphi -2\sin\varphi \cos\varphi )\,(6)$
Проинтегрируем это уравнение по $d\varphi$
$\frac{\dot{\varphi}^2 }{2}=\frac{4k}{m}(1,1\sin\varphi -\sin^2\varphi )+C_1\,(7)$
$C_1$ находим из начальных условий.
$\dot{\varphi }(0)=0\,,\varphi (0)=30°$
$C_1=-\frac{4k}{m}(1,1\sin30°-\sin^230°)=-0,3\frac{4k}{m}$
И получим наше диф. ур. (7):
$\frac{\dot{\varphi}^2 }{2}=\frac{4k}{m}(1,1\sin\varphi -\sin^2\varphi )-0,3\frac{4k}{m}\,(8)$
Из (8) найдём половину максимального угла раствора стержней, из условия $\dot{\varphi }(0)=0$
$\varphi _{\max}=36,9°$
В свободном состоянии пружины этот угол равен 33,4°
То есть имеется колебательный процесс.
И можно вычислить максимальное смещение концов стержней по оси x.
$\Delta x_{\max}=l(\cos30°-\cos36,9°)=0,066l$

Автору темы остаётся решить эту задачу, если шарнир не закреплён.
Есть предположение, что смещение незакреплённого шарнира будет в два раза меньше, чем закреплённого.
Но это надо доказать.

[DimaM]

ludwig51 в сообщении #1263439 писал(а):

Есть предположение, что смещение незакреплённого шарнира будет в два раза меньше, чем закреплённого.

Есть мнение (и не только мое), что смещение закрепленного шарнира точно нулевое.

[ludwig51]

DimaM в сообщении #1263498 писал(а):

ludwig51 в сообщении #1263439 писал(а):

Есть предположение, что смещение незакреплённого шарнира будет в два раза меньше, чем закреплённого.

Есть мнение (и не только мое), что смещение закрепленного шарнира точно нулевое.

ludwig51 в сообщении #1263439 писал(а):

И можно вычислить максимальное смещение концов стержней по оси x.

Концов стержней, а не шарнира.
И у этой задачи имеется другое решение.
По законам Ньютона.
И можно вывести аналитические формулы.
Для любых случаев. Закреплённого шарнира и незакреплённого.
Конечная формула для закреплённого шарнира.
Ордината точки А.
$y=0,55l-0,05l\cos(\sqrt{\frac{6k}{m}}\,t )$