Задача по теоретической механике.

[Chefan]

Помогите пожалуйста с идеей решения.

На гладкой плоскости лежат два одинаковых однородных стержня OA и OB, соединенных шарниром O. Первоначальное расположение стержней показано на рисунке, $OA=OB=l$. В этом положении концы стержней соединили предварительно сжатой пружиной, длина которой в свободном состоянии $\frac{11l}{10}$, и отпустили. Система из состояния покоя пришла в действие. Найти наибольшее смещение шарнира O.



Кажется, что надо пользоваться законами сохранения импульса и энергии, но не могу разобраться с начальными условиями задачи. Вроде как в точках A и B моментально появляется угловая скорость, равная $\sqrt{\frac{k}{20m}}$. Это из проекции силы пружины на ось перпендикулярную стержню. Тогда скорость в точке O вроде получается $l \sqrt{\frac{3k}{20m}}$ и направлена от пружины(Формула Эйлера).

[wrest]

Chefan в сообщении #1262615 писал(а):

Вроде как в точках A и B моментально появляется угловая скорость

Нет, скорость моментально может появляться или меняться скачками только когда ускорение бесконечное, это в некотором приближении бывает при ударах, а здесь удара нет.
Идея тут такая, что раз плоскость гладкая то трения нет, а значит на систему из стержней,шарнира и пружины не действуют внешние силы.

[realeugene]

Chefan в сообщении #1262615 писал(а):

Кажется, что надо пользоваться законами сохранения импульса и энергии, но не могу разобраться с начальными условиями задачи.

Сначала подумайте над двумя вопросами:
1. Каким будет движение центра масс?
2. Каким будет движение относительно центра масс?

Сможете ли вы ответить на эти вопросы качественно, без расчётов?

[pogulyat_vyshel]

(Оффтоп)

Как из скучной задачи сделать нескучную?
Предположим этот треугольник покоится на гладкой горизонтальной плоскости. К точке $O$ приложили силу $F$ направленную вдоль биссектрисы угла $O$ внутрь треугольника. Найти ускорение точки $O$ сразу после того, как начала действовать сила

[ludwig51]

Chefan в сообщении #1262615 писал(а):

Найти наибольшее смещение шарнира O.

А будет ли смещение шарнира?
Поверхность гладкая. Оба конца пружины сжали из положения 66,734° до положения 60° и одновременно отпустили. Какой будет процесс?

[angor6]

ludwig51 в сообщении #1262810 писал(а):

А будет ли смещение шарнира?

Относительно себя шарнир, конечно, не смещается, но относительно центра масс рассматриваемой системы тел смещается.

А вообще, не сводится ли эта задача из динамики к задаче из геометрии?

[Chefan]

realeugene в сообщении #1262664 писал(а):

Сначала подумайте над двумя вопросами:
1. Каким будет движение центра масс?
2. Каким будет движение относительно центра масс?

Сможете ли вы ответить на эти вопросы качественно, без расчётов?

1. ЦМ всей системы покоится, из-за отсутствия внешних сил.
2. Каждый из стержней вращается относительно цм стержня.

Правильно ли я понимаю, что тогда максимальное смещение точки O будет в момент, когда пружина растянется на $\frac{l}{10}$(из ЗСЭ на большую длину растянуться не сможет)?

[realeugene]

Chefan в сообщении #1262833 писал(а):

Правильно ли я понимаю, что тогда максимальное смещение точки O будет в момент, когда пружина растянется на $\frac{l}{10}$(из ЗСЭ на большую длину растянуться не сможет)?

Да.
Задача чисто геометрическая.

[angor6]

Chefan в сообщении #1262833 писал(а):

Правильно ли я понимаю, что тогда максимальное смещение точки O будет в момент, когда пружина растянется на $\frac{l}{10}$(из ЗСЭ на большую длину растянуться не сможет)?

Наверное, это следует из закона сохранения энергии. И задача сводится к простому геометрическому расчёту. При постоянной гипотенузе нужно рассмотреть два прямоугольных треугольника...

[ludwig51]

angor6 в сообщении #1262825 писал(а):

Относительно себя шарнир, конечно, не смещается, но относительно центра масс рассматриваемой системы тел смещается.

Как, по вашему, смещается шарнир относительно центра масс?
В задаче ЦМ шарнира находится в точке О. Эта точка является началом координат неподвижной системы отсчёта.

[angor6]

ludwig51 в сообщении #1262848 писал(а):

В задаче ЦМ шарнира находится в точке О. Эта точка является началом координат неподвижной системы отсчёта.

Центр масс рассматриваемой системы тел находится на горизонтальной оси, проходящей, в соответствии с рисунком, через шарнир. Конечно, приблизительно, в силу того, что пружина может и не быть симметричной относительно этой оси.

[wrest]

ludwig51 в сообщении #1262848 писал(а):

Как, по вашему, смещается шарнир относительно центра масс?

Очевидно, если свести концы то шарнир будет на расстоянии половины длины стержня от центра масс системы (пружину и сам шарнир считаем невесомыми). А если развести концы стержней на 180 (чтобы получилась прямая), то шарнир совместится с центром масс системы.

[angor6]

wrest
Если шарнир и пружина невесомые. то центр масс системы из двух стержней находится посередине отрезка, соединяющего их середины. Или я неправильно рассудил? Да и нужно ли рассуждать об этом? Пружина ограничивает перемещение стержней.

[wrest]

angor6 в сообщении #1262856 писал(а):

Да и нужно ли рассуждать об этом? Пружина ограничивает перемещение стержней.

Суть задачи в том, что ЦМ системы остается неподвижным. Тогда положение шарнира является функцией угла между стержнями.

[amon]

(pogulyat_vyshel)

$a_O=\frac{F}{2m}\left(1+\frac{1}{2}\tg^2\frac{\alpha}{2}\right)$
$m$ - масса стержня
$\alpha$ - угол между стержнями
пружинка в начальный момент не растянута.
Соврал?