Решение одномерного уравнения Шредингера

[Lia]

pogulyat_vyshel, действительно, смените тон. Предупреждение, см. post1262881.html#p1262881

[g______d]

reterty в сообщении #1262886 писал(а):

меня интересует именно дискретный спектр (уровни в яме) а не сплошной спектр над нею.

А, ну если дискретный спектр, то действительно не хватает краевого условия. Написанное выше решение существует при любом $k^2<\alpha^2$. Но если есть самосопряжённое краевое условие в нуле, это даст дополнительное условие на $k$ (потому что не при всяком $k$ единственное (с точностью до множителя) решение, убывающее на бесконечности, будет удовлетворять условию в нуле).

[amon]

Ваш потенциал в нуле имеет существенно особую точку. Это ведет к массе неприятностей. А силы изображений, если они Вам так нужны, проще руками приписать. Вообще, на тему этих сил много чего понаписано. Например, ФТТ, 2002, том 44, вып. 10 стр. 1729.

[reterty]

g______d в сообщении #1262890 писал(а):

Red_Herring в сообщении #1262889 писал(а):

Не заметил. Но без граничного условия при $x=0$ у Вас нет самосопряженного оператора и потому о спектре говорить не приходится.

Это в каком-то смысле делает задачу проще, потому что решение Йоста всегда существует.

К сожалению этот потенциал на бесконечности не спадает а асимптотически приближается к высоте ямы $\alpha^2$

-- Вт ноя 07, 2017 00:11:26 --

g______d в сообщении #1262890 писал(а):

Red_Herring в сообщении #1262889 писал(а):

Не заметил. Но без граничного условия при $x=0$ у Вас нет самосопряженного оператора и потому о спектре говорить не приходится.

Это в каком-то смысле делает задачу проще, потому что решение Йоста всегда существует.

К сожалению этот потенциал на бесконечности не спадает а асимптотически приближается к высоте ямы $\alpha^2$

[g______d]

reterty в сообщении #1262897 писал(а):

К сожалению этот потенциал на бесконечности не спадает а асимптотически приближается к высоте ямы $\alpha^2$

Так я для этого и вычел из него константу. Оно будет решением Йоста со сдвинутым спектральным параметром. Но дискретного спектра без краевого условия Вы не получите.

[reterty]

amon в сообщении #1262896 писал(а):

Ваш потенциал в нуле имеет существенно особую точку. Это ведет к массе неприятностей. А силы изображений, если они Вам так нужны, проще руками приписать. Вообще, на тему этих сил много чего понаписано. Например, ФТТ, 2002, том 44, вып. 10 стр. 1729.

Уважаемый amon! В этом вся и загвоздка! Потенциал сил изображения вводили всегда аддитивно и это приводило к наличию сингулярности на краю ямы (слоя, нити, квантовой точки). А что если за счет всяких кросс-факторов ("обратной связи") этот потенциал не аддитивен а "встраивается" в общий потенциал. Я полагаю что Природа не терпит сингулярностей и всячески их "обрезает и "размывает". По сему мы можем только говорить что на больших расстояних по сравнению с размерами нанообьекта работает лишь зеркальный потенциал.

[g______d]

amon в сообщении #1262896 писал(а):

Ваш потенциал в нуле имеет существенно особую точку. Это ведет к массе неприятностей.

В этой задаче особого смысла переходить в комплексную область по $x$ (а не по $k$) особого смысла нет (если мы не надеемся найти какое-то точное решение методами ТФКП). А на вещественной оси это бесконечно гладкая функция. Со спектральной точки зрения можно рассматривать значительно более плохие потенциалы, чем этот, и мало что поменяется.

[amon]

g______d в сообщении #1262900 писал(а):

А на вещественной оси это бесконечно гладкая функция.

За исключением точки 0, где рвется всё, что может. Про этот потенциал я ничего не знаю, а в потенциале $V=e^{-\frac{1}{x^2}}$ масса интересностей.

[g______d]

amon в сообщении #1262908 писал(а):

За исключением точки 0, где рвется всё, что может.

Нет, наоборот, там сама функция и все производные стремятся к нулю (при $x>0$), а то что слева нам абсолютно безразлично, потому что задача на полуоси.

amon в сообщении #1262908 писал(а):

в потенциале $V=e^{-\frac{1}{x^2}}$ масса интересностей.

С точки зрения точного вычисления спектра -- может быть. С точки зрения общей теории -- сомневаюсь.

-- Пн, 06 ноя 2017 13:46:22 --

Ну правда может быть Вы говорите, что $u(0)=+\infty$ и сажаете туда какую-нибудь $\delta$-функцию, но это надо оговаривать отдельно, потому что в стандартной интерпретации все равенства понимаются в смысле $L^2$, и изменение потенциала в одной точке (в том числе и на бесконечное значение) ничего не меняет.

-- Пн, 06 ноя 2017 13:49:07 --

amon в сообщении #1262908 писал(а):

в потенциале $V=e^{-\frac{1}{x^2}}$ масса интересностей.

Общая теория (на всей оси) выглядит так: $[1,+\infty]$ -- абсолютно непрерывный спектр кратности 2, на отрезке $[0,1]$ может быть конечное или счётное количество собственных значений кратности 1, если счётное, то единственной предельной точкой этого множества может быть $1$. Другого спектра нет.

[Red_Herring]

Если рассматривать задачу на полуоси $x>0$, то в 0 потенциал бесконечно гладкий.

А если рассмотреть всю прямую, то супербыстрый рост потенциала до $+\infty$ при $x\to 0^-$ вынуждает условие
$\psi (0)=0$, и вообще вся зона $x<0$ будет при данном спектральном параметре классически запрещенной.

Есть решаемые вопросы, но нахождение точного решения к их числу не относится.

[g______d]

Ну вроде там в условии написано "полуось", поэтому я не стал даже думать про всю ось по поводу исходной задачи (а по поводу $e^{-1/x^2}$ без разницы, кроме кратности).

[amon]

Про полуось я пропустил. На полуоси, действительно, всё вроде нормально.

[amon]

reterty в сообщении #1262899 писал(а):

Потенциал сил изображения вводили всегда аддитивно

Не-а. Как я уже говорил, потенциал изображений штука многочастичная и $1/4z$ годится только когда частица движется очень медленно. Для быстрой частицы силы изображения диссипативны (токи возникают, и джоулево тепло рассеивается). Для аккуратного учета сил изображения надо применять аппарат КТП или запихивать эту силу в диэлектрическую проницаемость, как в том обзоре, ссылку на который я давал. Приведет это к появлению добавки к массе электрона в пропагаторе, зависящей от энергии и импульса и имеющей мнимую часть (затухание движения). Всё это уже давно проделано, так что Вы велосипед изобретаете.

[reterty]

g______d в сообщении #1262926 писал(а):

Ну вроде там в условии написано "полуось", поэтому я не стал даже думать про всю ось по поводу исходной задачи (а по поводу $e^{-1/x^2}$ без разницы, кроме кратности).

Уважаемые форумчане! Я прошу прощения за некорректную постановку задачи. У меня действительно яма а не барьер и должна рассматриваться вся числовая ось, т.е не рассеяние на барьере а движение в яме. Потенциал задачи в развернутом виде следующий: $U=U_0 \exp(-d/ \vert x\vert)$, где $U_0$ и $d$ - соответственно, глубина и толщина квантовой ямы. Поэтому, боюсь, формализм Йоста здесь не подойдет.

[g______d]

reterty в сообщении #1263145 писал(а):

Поэтому, боюсь, формализм Йоста здесь не подойдет.

Да, тогда из общей теории можно только сказать, что будет непрерывный спектр при энергиях выше $U_0$ и какое-то количество (зависящее от $d$ и $U_0$) простых дискретных уровней на отрезке $[0,U_0]$. В случае дискретных уровней решения, конечно, тоже будет решениями Йоста (и найти их можно из того же интегрального уравнения), но нужно сшивать левое и правое решение Йоста, не зная заранее, при каких $k$ это возможно.