2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3  След.
 
 Re: Решение одномерного уравнения Шредингера
Сообщение06.11.2017, 23:04 
Модератор


20/03/14
7910
 !  pogulyat_vyshel, действительно, смените тон. Предупреждение, см. post1262881.html#p1262881

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение одномерного уравнения Шредингера
Сообщение06.11.2017, 23:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
4856
reterty в сообщении #1262886 писал(а):
меня интересует именно дискретный спектр (уровни в яме) а не сплошной спектр над нею.


А, ну если дискретный спектр, то действительно не хватает краевого условия. Написанное выше решение существует при любом $k^2<\alpha^2$. Но если есть самосопряжённое краевое условие в нуле, это даст дополнительное условие на $k$ (потому что не при всяком $k$ единственное (с точностью до множителя) решение, убывающее на бесконечности, будет удовлетворять условию в нуле).

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение одномерного уравнения Шредингера
Сообщение06.11.2017, 23:09 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
2935
ФТИ им. Иоффе СПб
Ваш потенциал в нуле имеет существенно особую точку. Это ведет к массе неприятностей. А силы изображений, если они Вам так нужны, проще руками приписать. Вообще, на тему этих сил много чего понаписано. Например, ФТТ, 2002, том 44, вып. 10 стр. 1729.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение одномерного уравнения Шредингера
Сообщение06.11.2017, 23:11 
Аватара пользователя


08/10/09
124
Херсон
g______d в сообщении #1262890 писал(а):
Red_Herring в сообщении #1262889 писал(а):
Не заметил. Но без граничного условия при $x=0$ у Вас нет самосопряженного оператора и потому о спектре говорить не приходится.


Это в каком-то смысле делает задачу проще, потому что решение Йоста всегда существует.

К сожалению этот потенциал на бесконечности не спадает а асимптотически приближается к высоте ямы $\alpha^2$

-- Вт ноя 07, 2017 00:11:26 --

g______d в сообщении #1262890 писал(а):
Red_Herring в сообщении #1262889 писал(а):
Не заметил. Но без граничного условия при $x=0$ у Вас нет самосопряженного оператора и потому о спектре говорить не приходится.


Это в каком-то смысле делает задачу проще, потому что решение Йоста всегда существует.

К сожалению этот потенциал на бесконечности не спадает а асимптотически приближается к высоте ямы $\alpha^2$

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение одномерного уравнения Шредингера
Сообщение06.11.2017, 23:12 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
4856
reterty в сообщении #1262897 писал(а):
К сожалению этот потенциал на бесконечности не спадает а асимптотически приближается к высоте ямы $\alpha^2$


Так я для этого и вычел из него константу. Оно будет решением Йоста со сдвинутым спектральным параметром. Но дискретного спектра без краевого условия Вы не получите.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение одномерного уравнения Шредингера
Сообщение06.11.2017, 23:17 
Аватара пользователя


08/10/09
124
Херсон
amon в сообщении #1262896 писал(а):
Ваш потенциал в нуле имеет существенно особую точку. Это ведет к массе неприятностей. А силы изображений, если они Вам так нужны, проще руками приписать. Вообще, на тему этих сил много чего понаписано. Например, ФТТ, 2002, том 44, вып. 10 стр. 1729.

Уважаемый amon! В этом вся и загвоздка! Потенциал сил изображения вводили всегда аддитивно и это приводило к наличию сингулярности на краю ямы (слоя, нити, квантовой точки). А что если за счет всяких кросс-факторов ("обратной связи") этот потенциал не аддитивен а "встраивается" в общий потенциал. Я полагаю что Природа не терпит сингулярностей и всячески их "обрезает и "размывает". По сему мы можем только говорить что на больших расстояних по сравнению с размерами нанообьекта работает лишь зеркальный потенциал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение одномерного уравнения Шредингера
Сообщение06.11.2017, 23:18 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
4856
amon в сообщении #1262896 писал(а):
Ваш потенциал в нуле имеет существенно особую точку. Это ведет к массе неприятностей.


В этой задаче особого смысла переходить в комплексную область по $x$ (а не по $k$) особого смысла нет (если мы не надеемся найти какое-то точное решение методами ТФКП). А на вещественной оси это бесконечно гладкая функция. Со спектральной точки зрения можно рассматривать значительно более плохие потенциалы, чем этот, и мало что поменяется.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение одномерного уравнения Шредингера
Сообщение06.11.2017, 23:35 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
2935
ФТИ им. Иоффе СПб
g______d в сообщении #1262900 писал(а):
А на вещественной оси это бесконечно гладкая функция.
За исключением точки 0, где рвется всё, что может. Про этот потенциал я ничего не знаю, а в потенциале $V=e^{-\frac{1}{x^2}}$ масса интересностей.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение одномерного уравнения Шредингера
Сообщение06.11.2017, 23:39 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
4856
amon в сообщении #1262908 писал(а):
За исключением точки 0, где рвется всё, что может.


Нет, наоборот, там сама функция и все производные стремятся к нулю (при $x>0$), а то что слева нам абсолютно безразлично, потому что задача на полуоси.

amon в сообщении #1262908 писал(а):
в потенциале $V=e^{-\frac{1}{x^2}}$ масса интересностей.


С точки зрения точного вычисления спектра -- может быть. С точки зрения общей теории -- сомневаюсь.

-- Пн, 06 ноя 2017 13:46:22 --

Ну правда может быть Вы говорите, что $u(0)=+\infty$ и сажаете туда какую-нибудь $\delta$-функцию, но это надо оговаривать отдельно, потому что в стандартной интерпретации все равенства понимаются в смысле $L^2$, и изменение потенциала в одной точке (в том числе и на бесконечное значение) ничего не меняет.

-- Пн, 06 ноя 2017 13:49:07 --

amon в сообщении #1262908 писал(а):
в потенциале $V=e^{-\frac{1}{x^2}}$ масса интересностей.


Общая теория (на всей оси) выглядит так: $[1,+\infty]$ -- абсолютно непрерывный спектр кратности 2, на отрезке $[0,1]$ может быть конечное или счётное количество собственных значений кратности 1, если счётное, то единственной предельной точкой этого множества может быть $1$. Другого спектра нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение одномерного уравнения Шредингера
Сообщение06.11.2017, 23:51 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


31/01/14
7433
Hogtown
Если рассматривать задачу на полуоси $x>0$, то в 0 потенциал бесконечно гладкий.

А если рассмотреть всю прямую, то супербыстрый рост потенциала до $+\infty$ при $x\to 0^-$ вынуждает условие
$\psi (0)=0$, и вообще вся зона $x<0$ будет при данном спектральном параметре классически запрещенной.

Есть решаемые вопросы, но нахождение точного решения к их числу не относится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение одномерного уравнения Шредингера
Сообщение06.11.2017, 23:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
4856
Ну вроде там в условии написано "полуось", поэтому я не стал даже думать про всю ось по поводу исходной задачи (а по поводу $e^{-1/x^2}$ без разницы, кроме кратности).

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение одномерного уравнения Шредингера
Сообщение07.11.2017, 00:00 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
2935
ФТИ им. Иоффе СПб
Про полуось я пропустил. На полуоси, действительно, всё вроде нормально.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение одномерного уравнения Шредингера
Сообщение07.11.2017, 03:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


04/09/14
2935
ФТИ им. Иоффе СПб
reterty в сообщении #1262899 писал(а):
Потенциал сил изображения вводили всегда аддитивно
Не-а. Как я уже говорил, потенциал изображений штука многочастичная и $1/4z$ годится только когда частица движется очень медленно. Для быстрой частицы силы изображения диссипативны (токи возникают, и джоулево тепло рассеивается). Для аккуратного учета сил изображения надо применять аппарат КТП или запихивать эту силу в диэлектрическую проницаемость, как в том обзоре, ссылку на который я давал. Приведет это к появлению добавки к массе электрона в пропагаторе, зависящей от энергии и импульса и имеющей мнимую часть (затухание движения). Всё это уже давно проделано, так что Вы велосипед изобретаете.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение одномерного уравнения Шредингера
Сообщение07.11.2017, 17:50 
Аватара пользователя


08/10/09
124
Херсон
g______d в сообщении #1262926 писал(а):
Ну вроде там в условии написано "полуось", поэтому я не стал даже думать про всю ось по поводу исходной задачи (а по поводу $e^{-1/x^2}$ без разницы, кроме кратности).

Уважаемые форумчане! Я прошу прощения за некорректную постановку задачи. У меня действительно яма а не барьер и должна рассматриваться вся числовая ось, т.е не рассеяние на барьере а движение в яме. Потенциал задачи в развернутом виде следующий: $U=U_0 \exp(-d/ \vert x\vert)$, где $U_0$ и $d$ - соответственно, глубина и толщина квантовой ямы. Поэтому, боюсь, формализм Йоста здесь не подойдет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Решение одномерного уравнения Шредингера
Сообщение07.11.2017, 18:10 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


08/11/11
4856
reterty в сообщении #1263145 писал(а):
Поэтому, боюсь, формализм Йоста здесь не подойдет.


Да, тогда из общей теории можно только сказать, что будет непрерывный спектр при энергиях выше $U_0$ и какое-то количество (зависящее от $d$ и $U_0$) простых дискретных уровней на отрезке $[0,U_0]$. В случае дискретных уровней решения, конечно, тоже будет решениями Йоста (и найти их можно из того же интегрального уравнения), но нужно сшивать левое и правое решение Йоста, не зная заранее, при каких $k$ это возможно.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 41 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group