Тройки последовательных чисел, не кратных квадратам простых

[Ktina]

Докажите, что существует бесконечно много троек последовательных натуральных чисел, не делящихся на квадраты простых чисел.

[kotenok gav]

Ktina в сообщении #1262324 писал(а):

не делящихся на квадраты простых чисел.

Свободных от квадратов.

[Dmitriy40]

Легко. Будем искать такие тройки среди простых чисел близнецов, т.е. тройки чисел $(6n-1,6n,6n+1)$, причём первое и третье число простое. Бесконечность близнецов вроде бы доказана третьими лицами. Осталось выбрать число $6n$ свободным от квадратов. Для этого возьмём число $n$ так же простым больше $4$. Вуаля.

-- 05.11.2017, 09:33 --

Кстати для среднего числа есть A171179, начиная с 3-го члена.

[Ktina]

Dmitriy40 в сообщении #1262389 писал(а):

Бесконечность близнецов вроде бы доказана третьими лицами.

Если и доказана, то сравнительно недавно. А задача старая. И школьная.

[kotenok gav]

Ktina в сообщении #1262391 писал(а):

Если и доказана,

Нет.

[Andrey A]

Убрал.

[Andrey A]

Ktina в сообщении #1262324 писал(а):

Докажите, что существует бесконечно много троек...

Обратное утверждение равносильно следующему: начиная с некоторого $n$, любая подпоследовательность свободных от квадратов в натуральном ряду содержит не более двух членов. Тогда подпоследовательность $4n,4n+1,4n+2,4n+3$ содержит по меньшей мере два члена несвободных от квадратов, и плотность свободных от квадратов в натуральном ряду оказывается $\leq \dfrac{1}{2}<\dfrac{6}{\pi ^2}$, что не верно. Значит находятся тройки для любого $n$.

Исправлено 10.36

[Dmitriy40]

Andrey A в сообщении #1262408 писал(а):

Тогда подпоследовательность $4n,4n+1,4n+2,4n+3$ содержит по меньшей мере два члена несвободных от квадратов,

Не обязательно, несвободным может быть лишь $4n+1$ (или $4n+2$), этого уже хватит для исключения трёх подряд свободных. А плотность свободных станет $\le\frac34$.
Рассмотрение подпоследовательности $(6n,6n+1,6n+2,6n+3,6n+4,6n+5)$ (и любых более длинных) приводит к плотности свободных $\le\frac23$.
Что за константа $\frac6{\pi^2}$ не понял, сравнить с ней не могу.

[Andrey A]

Dmitriy40 в сообщении #1262416 писал(а):

Что за константа $\frac6{\pi^2}$

Асимптотическая плотность свободных от квадратов.

$\dfrac{2}{3}>\dfrac{6}{\pi ^2}$ ничего не доказывает. Не свободны от квадратов $4n$ и одно из трех оставшихся по предположению от обратного.

[Dmitriy40]

Andrey A
Ага, теперь понял. Почему-то не обратил внимания что $4n$ тоже несвободно от квадратов.

[kotenok gav]

А если было бы даже свободно? Как это бы меняло?

[Dmitriy40]

Сильно (меняло бы).

-- 05.11.2017, 15:31 --

Ну а подробнее и так есть выше в трёх наших сообщениях.

[kotenok gav]

Dmitriy40 в сообщении #1262478 писал(а):

Сильно (меняло бы).

Как?

[Dmitriy40]

kotenok gav
Аннулировало бы доказательство от противного для подпоследовательностей данного вида. В чём я выше и усомнился. Ведь целью было получить плотность свободных меньше $0{,}6$.

[kotenok gav]

Подробнее:

Dmitriy40 в сообщении #1262416 писал(а):

Не обязательно, несвободным может быть лишь $4n+1$ (или $4n+2$),

Как?