2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Тройки последовательных чисел, не кратных квадратам простых
Сообщение05.11.2017, 01:17 
Аватара пользователя


01/12/11
6815
Ярдена Шуламит, шуламила и будет шуламить!
Докажите, что существует бесконечно много троек последовательных натуральных чисел, не делящихся на квадраты простых чисел.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тройки последовательных чисел, не кратных квадратам простых
Сообщение05.11.2017, 03:37 


21/05/16
21/07/18
1721
Аделаида
Ktina в сообщении #1262324 писал(а):
не делящихся на квадраты простых чисел.

Свободных от квадратов.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тройки последовательных чисел, не кратных квадратам простых
Сообщение05.11.2017, 09:24 
Заслуженный участник


20/08/14
4548
Россия, Москва
Легко. Будем искать такие тройки среди простых чисел близнецов, т.е. тройки чисел $(6n-1,6n,6n+1)$, причём первое и третье число простое. Бесконечность близнецов вроде бы доказана третьими лицами. Осталось выбрать число $6n$ свободным от квадратов. Для этого возьмём число $n$ так же простым больше $4$. Вуаля.

-- 05.11.2017, 09:33 --

Кстати для среднего числа есть A171179, начиная с 3-го члена.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тройки последовательных чисел, не кратных квадратам простых
Сообщение05.11.2017, 09:53 
Аватара пользователя


01/12/11
6815
Ярдена Шуламит, шуламила и будет шуламить!
Dmitriy40 в сообщении #1262389 писал(а):
Бесконечность близнецов вроде бы доказана третьими лицами.

Если и доказана, то сравнительно недавно. А задача старая. И школьная.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тройки последовательных чисел, не кратных квадратам простых
Сообщение05.11.2017, 09:58 


21/05/16
21/07/18
1721
Аделаида
Ktina в сообщении #1262391 писал(а):
Если и доказана,

Нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тройки последовательных чисел, не кратных квадратам простых
Сообщение05.11.2017, 10:22 


21/11/12
571
Убрал.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тройки последовательных чисел, не кратных квадратам простых
Сообщение05.11.2017, 11:32 


21/11/12
571
Ktina в сообщении #1262324 писал(а):
Докажите, что существует бесконечно много троек...

Обратное утверждение равносильно следующему: начиная с некоторого $n$, любая подпоследовательность свободных от квадратов в натуральном ряду содержит не более двух членов. Тогда подпоследовательность $4n,4n+1,4n+2,4n+3$ содержит по меньшей мере два члена несвободных от квадратов, и плотность свободных от квадратов в натуральном ряду оказывается $\leq \dfrac{1}{2}<\dfrac{6}{\pi ^2}$, что не верно. Значит находятся тройки для любого $n$.

Исправлено 10.36

 Профиль  
                  
 
 Re: Тройки последовательных чисел, не кратных квадратам простых
Сообщение05.11.2017, 12:11 
Заслуженный участник


20/08/14
4548
Россия, Москва
Andrey A в сообщении #1262408 писал(а):
Тогда подпоследовательность $4n,4n+1,4n+2,4n+3$ содержит по меньшей мере два члена несвободных от квадратов,
Не обязательно, несвободным может быть лишь $4n+1$ (или $4n+2$), этого уже хватит для исключения трёх подряд свободных. А плотность свободных станет $\le\frac34$.
Рассмотрение подпоследовательности $(6n,6n+1,6n+2,6n+3,6n+4,6n+5)$ (и любых более длинных) приводит к плотности свободных $\le\frac23$.
Что за константа $\frac6{\pi^2}$ не понял, сравнить с ней не могу.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тройки последовательных чисел, не кратных квадратам простых
Сообщение05.11.2017, 13:03 


21/11/12
571
Dmitriy40 в сообщении #1262416 писал(а):
Что за константа $\frac6{\pi^2}$

Асимптотическая плотность свободных от квадратов.

$\dfrac{2}{3}>\dfrac{6}{\pi ^2}$ ничего не доказывает. Не свободны от квадратов $4n$ и одно из трех оставшихся по предположению от обратного.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тройки последовательных чисел, не кратных квадратам простых
Сообщение05.11.2017, 13:21 
Заслуженный участник


20/08/14
4548
Россия, Москва
Andrey A
Ага, теперь понял. Почему-то не обратил внимания что $4n$ тоже несвободно от квадратов. :-(

 Профиль  
                  
 
 Re: Тройки последовательных чисел, не кратных квадратам простых
Сообщение05.11.2017, 14:57 


21/05/16
21/07/18
1721
Аделаида
А если было бы даже свободно? Как это бы меняло?

 Профиль  
                  
 
 Re: Тройки последовательных чисел, не кратных квадратам простых
Сообщение05.11.2017, 15:31 
Заслуженный участник


20/08/14
4548
Россия, Москва
Сильно (меняло бы).

-- 05.11.2017, 15:31 --

Ну а подробнее и так есть выше в трёх наших сообщениях.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тройки последовательных чисел, не кратных квадратам простых
Сообщение05.11.2017, 15:33 


21/05/16
21/07/18
1721
Аделаида
Dmitriy40 в сообщении #1262478 писал(а):
Сильно (меняло бы).

Как?

 Профиль  
                  
 
 Re: Тройки последовательных чисел, не кратных квадратам простых
Сообщение05.11.2017, 16:00 
Заслуженный участник


20/08/14
4548
Россия, Москва
kotenok gav
Аннулировало бы доказательство от противного для подпоследовательностей данного вида. В чём я выше и усомнился. Ведь целью было получить плотность свободных меньше $0{,}6$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Тройки последовательных чисел, не кратных квадратам простых
Сообщение05.11.2017, 16:09 


21/05/16
21/07/18
1721
Аделаида
Подробнее:
Dmitriy40 в сообщении #1262416 писал(а):
Не обязательно, несвободным может быть лишь $4n+1$ (или $4n+2$),

Как?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 25 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group