2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4
 
 Re: Беда со слабой плоской гравитационной волной
Сообщение18.09.2017, 10:58 


27/08/16
3554
SergeyGubanov в сообщении #1248591 писал(а):
пожалуйста обратите внимание на то, что вывод $(2) \to (2^{\star}) \to (3) \to (4)$ состоит из тождественных преобразований
Состоит, но он не линеаризация. Линеаризация - это когда вы некоторым чудесным образом избавитесь в выражении от степеней параметра выше первой. Но, конечно, дифференцировать линеаризованную функцию осмысленно только если исходная функция была нужное число раз дифференцируемой, и, в большинстве случаев, не более одного раза.

 Профиль  
                  
 
 Re: Беда со слабой плоской гравитационной волной
Сообщение18.09.2017, 12:15 
Аватара пользователя


14/11/12
1192
Россия, Нижний Новгород
Хм, если взять исходное точное уравнение (4)
$$
\left( \left( A_0 + C_0\right) + 
\left( A_1 + C_1 + A_0 D_1 + C_0 B_1 \right) \varepsilon + ( A_1 D_1 + C_1 B_1 )  \varepsilon^2 \right)
= 0 \eqno(4)
$$ и умножить его на произвольный множитель
$$
\left( 1 + F_1 \varepsilon + F_2 \varepsilon^2 \right) \ne 0,
$$$$
\left( \left( A_0 + C_0\right) + 
\left( A_1 + C_1 + A_0 D_1 + C_0 B_1 \right) \varepsilon + ( A_1 D_1 + C_1 B_1 )  \varepsilon^2 \right)
\left( 1 + F_1 \varepsilon + F_2 \varepsilon^2 \right)
= 0,
$$ то подбирая $F_1$ и $F_2$ можно изменить коэффициенты перед $\varepsilon$ и $\varepsilon^2$ до любых наперёд желаемых :roll:, что обесценивает саму идею разложения по степеням $\varepsilon$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Беда со слабой плоской гравитационной волной
Сообщение18.09.2017, 12:35 


27/08/16
3554
SergeyGubanov в сообщении #1248591 писал(а):
поэтому я написал себе программу на Mathematica.
Помнится, Морозов написал себе подобную программу на Мапле, но при этом по ошибке написал пару переменных слитно, и у него во вращающихся координатах тензор Римана получался ненулевым. О чём он развил теорию, что вращающиеся координаты кривые. Такие анекдотические ситуации тоже случаются.

В Википедии по поводу вакуумного решения гравитационной волны написаны слова, которые я не понимаю. Координаты там берутся какие-то специальные. Как они сводятся к координатам Минковского для фоновой метрики слабой волны мне не понятно. Но что касается вашего точного решения: $x$ и $t$ - это что?

 Профиль  
                  
 
 Re: Беда со слабой плоской гравитационной волной
Сообщение18.09.2017, 13:48 
Аватара пользователя


14/11/12
1192
Россия, Нижний Новгород
realeugene в сообщении #1248650 писал(а):
В Википедии по поводу вакуумного решения гравитационной волны написаны слова, которые я не понимаю. Координаты там берутся какие-то специальные. Как они сводятся к координатам Минковского для фоновой метрики слабой волны мне не понятно.
Посмотрите ЛЛ2, § 109.

realeugene в сообщении #1248650 писал(а):
Но что касается вашего точного решения: $x$ и $t$ - это что?
Ну, их можно до поры до времени интерпретировать как время и расстояние трансверсальные фронту плоской волны. Но рано или поздно детерминант метрического тензора выраженный в этих координатах обратится в ноль. Однако, если в окрестности того места, где он обращается в ноль выполняется $Q'' = 0$, $\xi'= 0$, $\chi' = 0$, то эта особенности фиктивная - тензор Римана нулевой, это пространство Минковского и преобразованием координат (указанным в ЛЛ2, § 109), метрику можно привести к другим - декартовым $\tilde{x}$, $\tilde{y}$, $\tilde{z}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Беда со слабой плоской гравитационной волной
Сообщение18.09.2017, 14:20 


27/08/16
3554
Я правильно понимаю, что для вашего точного решения тензор Римана ненулевой, в то время, как тензор Риччи (а равно тензор Эйнштейна) нулевые?

Относительно координат. Если бежит плоская ограниченная по времени пролёта волна, то четырехмерие делится на две области с метрикой Минковского, верно? У нас некоторым образом покоились линейки и часы. Волна проллетела - опять покоятся линейки и часы продолжают отсчитывать время. Так что, можно сшить координаты в этих областях, причём, если волна плоская и мы сшиваем области вдоль границы однородно, то метрика внутри волны, действительно, должна зависеть только от наших глобальных $t-x$. Верно? Но откуда следует, что у этой метрики внутри области сшивки не изменяются другие диагональные и внедиагональные компоненты? В точном решении?

 Профиль  
                  
 
 Re: Беда со слабой плоской гравитационной волной
Сообщение18.09.2017, 15:41 
Аватара пользователя


14/11/12
1192
Россия, Нижний Новгород
realeugene в сообщении #1248673 писал(а):
Я правильно понимаю, что для вашего точного решения тензор Римана ненулевой, в то время, как тензор Риччи (а равно тензор Эйнштейна) нулевые?
Да, конечно. Только это не моё решение, а решение Робинсона - Бонди, 1957. Мои здесь только обозначения и переписывание в ортогональном репере.

realeugene в сообщении #1248673 писал(а):
Но откуда следует, что у этой метрики внутри области сшивки не изменяются другие диагональные и внедиагональные компоненты? В точном решении?
Странный вопрос. Можете поискать другие решения, если это не нравится :D.

 Профиль  
                  
 
 Re: Беда со слабой плоской гравитационной волной
Сообщение18.09.2017, 16:03 


27/08/16
3554
SergeyGubanov в сообщении #1248690 писал(а):
Странный вопрос. Можете поискать другие решения, если это не нравится :D.
Вот, смотрите. Вы обнаружили, что некоторое известное решение после некоторых ваших преобразований приводит к абсурду. Означает ли это, что это ошибка именно в этом известном решении, а не в ваших преобразованиях? Скорее всего, ошиблись именно вы, например, переписывая известное решение в ортогональном репере и, например, потеряв что-то из метрики. Или неправильно линеаризуя волну. Чтобы найти ошибку, нужно не другие решения искать, а детально анализировать каждый шаг вашего вывода от известного решения к абсурду.

Так что вам не нравится с линеаризацией? Что тензор Римана, посчитанный по линеаризованной метрике, становится нулевым? Его просто по линеаризованной метрике считать нельзя, так как для его вычисления нужно решение дважды дифференцировать. Если хотите работать с тензором Римана, то, действительно, нужно ряд Тейлора считать до малых большего порядка малости. Это не означает, что линеаризованные решения бесполезны для других задач.

 Профиль  
                  
 
 Re: Беда со слабой плоской гравитационной волной
Сообщение05.11.2017, 10:59 
Аватара пользователя


10/12/11
1591
Москва
SergeyGubanov в сообщении #1246744 писал(а):
Теперь надо понять где делают ошибку при наивной линеаризации уравнений ОТО:

С одной стороны я согласен с вашими оппонентами:
Вот здесь :
post1247894.html#p1247894

Я бы взял выражение (2) , отправил бы его в матпакет и получил бы "неправильное" выражение (7). Тут у вас видимо неправильные рассуждения.

Цитата:
На основании этого мнения эту Некоторую Другую Теорию считают не самостоятельно существующей теорией, а лишь линеаризованным вариантом ОТО.


Но с другой стороны, я тут проверил некоторые расчеты в рамках ЛЛ-2 пар 107 и 96 для слабой волны с энергетической точки зрения и Ваши сомнения имеют рациональное зерно. И получилось следующее.

Согласно ЛЛ-2 пар 107 , Ландау-Лифшиц получили слабую плоскую волну в таком виде:

$$ds^2=dt^2-dx^2-(1+a)dy^2-(1-a)dz^2+2bdydz \quad(1b)$$

Тут я сделал замену :

$$h_{22}=-h_{33}=a(t-x), \quad h_{23}=h_{32}=b(t-x), \quad c=1$$

при координатных условиях:

$$\frac{\partial}{\partial{x^{k}}} (h_{i}^{k}-1/2\delta_{i}^{k}h_j^j)=0 \quad(2b)$$

Определитель :
$$g=a^2+b^2-1$$

$$\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0\cr 0 & -1 & 0 & 0\cr 0 & 0 & -a-1 & b\cr 0 & 0 & b & a-1\end{pmatrix}  \quad(3b)$$

Я оставил латинские буквы, как в ЛЛ-2 ($i,k,l,m...=0,1,2,3$)
Поток гравитационной энергии Ландау определяет исходя из формулы (96.7) , переписанной по-другому .

$$(-g)t^{ik}={\Lambda}^{iklm}_{,l,m}-(-g)\frac{1}{8{\pi}G}(R^{ik}-1/2g^{ik}R) \quad(4b)$$

$${\Lambda}^{iklm}_{,l,m}=\frac{\partial}{\partial { x^{l}}}\frac{\partial}{\partial { x^{m}}}[(-g)(g^{ik}g^{lm}-g^{il}g^{km})]  \quad(5b) $$

Оно же эквивалентно, как написано в учебнике громоздкому выражению (96.9) . Я не поленился и составил программу для этого выражения и получил такой ответ для метрики (3b):

$$(-g)16{\pi}Gt^{01}=-\frac{\dot{a}^2+\dot{b}^2}{g}+\frac{3a^2\dot{a}^2+3b^2\dot{b}^2+a^2\dot{b}^2+b^2\dot{a}^2+4ab\dot{a}\dot{b}}{g} \quad(6b)$$

Отбрасывая члены высокого порядка малости в псевдотензоре, то есть второе слагаемое, получаем тот ответ, который есть в учебнике, то есть (107.12) ( $g\approx-1$) :

$$16{\pi}Gt^{01}\approx\dot{a}^2+\dot{b}^2\quad(7b)$$

$$ 16{\pi}Gt^{01}\approx(\dot{h_{23}}^2+(1/4)(\dot{h_{22}}-\dot{h_{33}})^2)\quad(107.12) $$

На основе (107.12) делаются дальнейшие расчеты потерь энергии на гравитационное излучение при вращении двух массивных тел.

Теперь рассмотрим точное решение, которое может быть обобщением этой плоской волны :

$$\begin{pmatrix}1 & 0 & 0 & 0\cr 0 & -1 & 0 & 0\cr 0 & 0 & g_{22} & g_{23}\cr 0 & 0 & g_{23} & g_{33}\end{pmatrix} \quad(8b)$$

Поскольку это точное вакуумное решение, то тензор Риччи равен нулю и для метрики в таком виде без перекрестных членов
$ g^{o\mu}$ ($\mu=1,2,3$) компонента псевдотензора $t^{01}$ на основе (4b) и (5b) приобретает изящное простое выражение:

$$16{\pi}G(-g)t^{01}=\frac{\partial}{\partial { x^{l}}}\frac{\partial}{\partial { x^{m}}}[(-g)(g^{01}g^{lm}-g^{0l}g^{1m})]=\ddot{g} \quad(9b)$$

Определитель для (8b):

$$g=g_{23}^2-g_{22}g_{33}$$

Теперь раскладываем компоненты в правой части (9b). Пусть они переходят в (1b):
$$g_{22}=-1-a+.., g_{33}=-1+a+.., g_{33}=b+...\quad(10b)$$

Где после многоточия стоят члены следующего порядка малости. Тогда получаем в первом порядке для плотности потока энергии.

$$16{\pi}Gt^{01}_{(1)}\approx2(\dot{b}^2+\dot{a}^2+a\ddot{a}+b\ddot{b}) \quad(11b)$$

Это выражение знакопеременное в отличие от (7b) и (107.12) ЛЛ-2 и оно явно расходится с учебником, поскольку члены типа $a\ddot{a}$ по величине равны $\dot{a}^2$ .

Это можно проверить , взяв функции $a$ или $b$ в виде: $d\sin(w(t-x)+\phi)$ .

Для периодических функций усреднение потока по периоду $t^{01}_{(1)}$ для решения (11b) дает ноль .

Можно взять другое точное решение , которое предлагает ТС : плоскую волну Бонди-Переса-Робинсона.

$$ds^2=dt^2-dx^2-Q^2(e^{2f}dy^2+e^{-2f}dz^2) \quad(12b)$$

Определитель :

$$ g=-Q^4 $$

Согласно полученному точному выражению для компоненты (01) псевдотензора:

$$ 16{\pi}G(-g)t^{01}=\ddot{g}=-(Q^4)_{t,t} \quad(13b)$$

Если взять , как разумно предлагает Sergey Gubanov , $Q$ в виде $d\sin(w(t-x))$ , то получим:

$$16{\pi}G(-g)t^{01}=4\,{d}^{4}\,{w}^{2}\,{\mathrm{\sin}\left( w\,\left( x-t\right) \right) }^{2}\,\left( {\mathrm{\sin}\left( w\,\left( x-t\right) \right) }^{2}-3\,{\mathrm{\cos}\left( w\,\left( x-t\right) \right) }^{2}\right)  \quad(14b)$$

Это выражение знакопеременное и при усреднении по времени дает ноль $<{t^{01}}>=0$.

Получается странное противоречие. Некоторые точные решения дают нулевой поток гравитационной энергии , в то время как приближенное линеаризированное дает результат отличный от нуля и проверен экспериментом. В этом смысле заявление ТС не такое уж абсурдное.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 53 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4

Модераторы: Парджеттер, Pphantom, Aer, photon, profrotter, Eule_A, Jnrty, whiterussian, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group