Нули функции

[Draeden]

$ f : \mathbb{C \to C} $

$ f(z) = \sum\limits_{n=1}^m \frac 1 { z - a_n } $

какие есть способы найти нули этой функции ?

[Brukvalub]

Draeden писал(а):

какие есть способы найти нули этой функции ?

Решить уравнение $ f(z) = 0 $ .

[Профессор Снэйп]

Угу. Тут если ввести многочлен

$$ g(x) = (x-a_1)\ldots(x-a_m), $$

то

$$ f(z) = \frac{g'(z)}{g(z)} $$

(штрих, как обычно, обозначает производную). Получается, что надо искать нули многочлена $g'$.

[Draeden]

Можно ли как то качественно определить нули ?
Т.е. глядя на картинку распределения полюсов, расставить нули.

[Профессор Снэйп]

Draeden писал(а):

Можно ли как то качественно определить нули ?
Т.е. глядя на картинку распределения полюсов, расставить нули.

Ну а можно ли, глядя на нули многочлена, расставить нули его производной?

[Draeden]

Разве это так очевидно ?
Даже если многочлен вещественный, то прикинуть "на глаз" местоположение его экстремумов довольно непросто. В данном случае многочлен комплексный, и я не представляю, где его производная обращается в ноль. Хотя может быть я не вижу очевидного...

[Профессор Снэйп]

Draeden писал(а):

Разве это так очевидно ?
Даже если многочлен вещественный, то прикинуть "на глаз" местоположение его экстремумов довольно непросто. В данном случае многочлен комплексный, и я не представляю, где его производная обращается в ноль. Хотя может быть я не вижу очевидного...

А я и не говорю, что это очевидно. Зато в одном из предыдущих сообщений я Вам с полной очевидностью показал, что задача отыскания нулей функции $f(z)$ равносильна задаче отыскания нулей у производной многочлена, имеющего корни $a_1, \ldots, a_m$.

Профессор Снэйп писал(а):

Угу. Тут если ввести многочлен

$$ g(x) = (x-a_1)\ldots(x-a_m), $$

то

$$ f(z) = \frac{g'(z)}{g(z)} $$

(штрих, как обычно, обозначает производную). Получается, что надо искать нули многочлена $g'$.

А с чего Вы, собственно, взяли, что Ваша задача должна иметь простое решение?

Добавлено спустя 6 минут 45 секунд:

Но, кстати, насчёт "примерного" отыскания нулей производной.

Если многочлен вещественный (и все корни кратности 1), то понятно, где "примерно" располагаются нули производной: между корнями исходного многочлена. К какому корня что ближе --- уже более сложный вопрос, но и он решается путём некоторого анализа взаимного расположения корней.

К примеру, пусть многочлен $g(x) = x(x-1)(x-3)(x-7)(x-11)$. Корень производной $g'(x)$, лежащий между $1$ и $3$ к чему ближе: к единице или к тройке? А?

Ну а если корни комплексные... невелика разница на самом деле.

[Draeden]

Красивая задача должна иметь красивое решение к сожалению не всегда простое

Насчёт единицы и тройки, экстремум случайно не в двойке ?

Есть такая мысль: если $\frac 1 {2\pi i} \int\limits_{\Gamma}\frac{g''}{g'}$ равен кол-ву нулей внутри $\Gamma$, то если найти такие удобные контуры, по которым легко интегрировать то можно было бы поискать корни. Способ, правда, какой то жуткий...

[Профессор Снэйп]

Draeden писал(а):

Красивая задача должна иметь красивое решение к сожалению не всегда простое

Честно говоря, я эту задачу первый раз в жизни вижу. Она из какого-то учебника/задачника или Вы её сами придумали?

Во втором случае... чтож, утверждение ВТФ достаточно просто и красиво

[Draeden]

Нет, задача с одного форума. Осталась без ответа...

[Профессор Снэйп]

Draeden писал(а):

Насчёт единицы и тройки, экстремум случайно не в двойке ?

Ну нет, что Вы. Сами посудите:

$$ g'(x) = (x-1)(x-3)(x-7)(x-11) + x(x-3)(x-7)(x-11) + $$

$$ + x(x-1)(x-7)(x-11) + x(x-1)(x-3)(x-11) + x(x-1)(x-3)(x-7) $$

$$ g'(2) = 1 \cdot (-1) \cdot (-5) \cdot (-9) + 2 \cdot (-1) \cdot (-5) \cdot (-9) + 2 \cdot 1 \cdot (-5) \cdot (-9) + $$

$$ + 2 \cdot 1 \cdot (-1) \cdot (-9) + 2 \cdot 1 \cdot (-1) \cdot (-5) $$

Второе и третье слагаемые сокращаются, а первое по модулю перевешивает четвертое и пятое вместе. Значит, $g'(2) < 0$ и, поскольку ноль производной между $1$ и $3$ соответствует минимуму многочлена $g$, то он находится где-то правее.

Честно говоря, я сп%;№*ел насчёт невеликой разницы между действительным и комплексным случаями. На самом деле, моё знание комплана примерно на нуле. Но Вы не переживайте: как только придёт RIP, он в полпинка разрешит Вашу задачу. Ибо он, в отличие от меня, в комплексном анализе бог.

[ИСН]

Только имейте в виду, что "К чёрту! Задача эквивалентна нахождению корней произвольного многочлена!" - иной раз боги могут дать и такой ответ.

[Draeden]

Ну чтож, тогда ждём RIP'а

[RIP]

Профессор Снэйп писал(а):

Но Вы не переживайте: как только придёт RIP, он в полпинка разрешит Вашу задачу. Ибо он, в отличие от меня, в комплексном анализе бог.

Не надо вводить людей в заблуждение. Я ТФКП знаю от силы на очень слабую троечку.

Про нули производной многочлена можно глянуть в Прасолов В. В. — Многочлены (Гл. 1, п. 2).

[MGM]

Профессор Снэйп писал(а):

Draeden писал(а):

Красивая задача должна иметь красивое решение к сожалению не всегда простое

Честно говоря, я эту задачу первый раз в жизни вижу. Она из какого-то учебника/задачника или Вы её сами придумали?

Во втором случае... чтож, утверждение ВТФ достаточно просто и красиво

Для реальных корней задача не сложней вычисления синуса. Если числа, конечно, нужны.
Да и для комплексных, видимо, не слишком сложно. Думать лень, да и никакой полезной нагрузки решение сиё не имеет. А так бы решил.