2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Нули функции
Сообщение11.06.2008, 15:27 
Аватара пользователя
$ f : \mathbb{C \to C} $

$ f(z) = \sum\limits_{n=1}^m \frac 1 { z - a_n } $

какие есть способы найти нули этой функции ?

 
 
 
 
Сообщение11.06.2008, 15:47 
Аватара пользователя
Draeden писал(а):
какие есть способы найти нули этой функции ?

Решить уравнение $ f(z) = 0 $ .

 
 
 
 
Сообщение11.06.2008, 16:00 
Аватара пользователя
Угу. Тут если ввести многочлен

$$
g(x) = (x-a_1)\ldots(x-a_m),
$$

то

$$
f(z) = \frac{g'(z)}{g(z)}
$$

(штрих, как обычно, обозначает производную). Получается, что надо искать нули многочлена $g'$.

 
 
 
 
Сообщение11.06.2008, 17:38 
Аватара пользователя
Можно ли как то качественно определить нули ?
Т.е. глядя на картинку распределения полюсов, расставить нули.

 
 
 
 
Сообщение11.06.2008, 19:03 
Аватара пользователя
Draeden писал(а):
Можно ли как то качественно определить нули ?
Т.е. глядя на картинку распределения полюсов, расставить нули.


Ну а можно ли, глядя на нули многочлена, расставить нули его производной?

 
 
 
 
Сообщение11.06.2008, 19:33 
Аватара пользователя
Разве это так очевидно ?
Даже если многочлен вещественный, то прикинуть "на глаз" местоположение его экстремумов довольно непросто. В данном случае многочлен комплексный, и я не представляю, где его производная обращается в ноль. Хотя может быть я не вижу очевидного...

 
 
 
 
Сообщение11.06.2008, 19:55 
Аватара пользователя
Draeden писал(а):
Разве это так очевидно ?
Даже если многочлен вещественный, то прикинуть "на глаз" местоположение его экстремумов довольно непросто. В данном случае многочлен комплексный, и я не представляю, где его производная обращается в ноль. Хотя может быть я не вижу очевидного...


А я и не говорю, что это очевидно. Зато в одном из предыдущих сообщений я Вам с полной очевидностью показал, что задача отыскания нулей функции $f(z)$ равносильна задаче отыскания нулей у производной многочлена, имеющего корни $a_1, \ldots, a_m$.

Профессор Снэйп писал(а):
Угу. Тут если ввести многочлен

$$
g(x) = (x-a_1)\ldots(x-a_m),
$$

то

$$
f(z) = \frac{g'(z)}{g(z)}
$$

(штрих, как обычно, обозначает производную). Получается, что надо искать нули многочлена $g'$.


А с чего Вы, собственно, взяли, что Ваша задача должна иметь простое решение?

Добавлено спустя 6 минут 45 секунд:

Но, кстати, насчёт "примерного" отыскания нулей производной.

Если многочлен вещественный (и все корни кратности 1), то понятно, где "примерно" располагаются нули производной: между корнями исходного многочлена. К какому корня что ближе --- уже более сложный вопрос, но и он решается путём некоторого анализа взаимного расположения корней.

К примеру, пусть многочлен $g(x) = x(x-1)(x-3)(x-7)(x-11)$. Корень производной $g'(x)$, лежащий между $1$ и $3$ к чему ближе: к единице или к тройке? А? :)

Ну а если корни комплексные... невелика разница на самом деле.

 
 
 
 
Сообщение11.06.2008, 19:58 
Аватара пользователя
Красивая задача должна иметь красивое решение :) к сожалению не всегда простое :(

Насчёт единицы и тройки, экстремум случайно не в двойке ? :)

Есть такая мысль: если $\frac 1 {2\pi i} \int\limits_{\Gamma}\frac{g''}{g'}$ равен кол-ву нулей внутри $\Gamma$, то если найти такие удобные контуры, по которым легко интегрировать то можно было бы поискать корни. Способ, правда, какой то жуткий...

 
 
 
 
Сообщение11.06.2008, 20:00 
Аватара пользователя
Draeden писал(а):
Красивая задача должна иметь красивое решение :) к сожалению не всегда простое :(


Честно говоря, я эту задачу первый раз в жизни вижу. Она из какого-то учебника/задачника или Вы её сами придумали?

Во втором случае... чтож, утверждение ВТФ достаточно просто и красиво :)

 
 
 
 
Сообщение11.06.2008, 20:12 
Аватара пользователя
Нет, задача с одного форума. Осталась без ответа...

 
 
 
 
Сообщение11.06.2008, 20:29 
Аватара пользователя
Draeden писал(а):
Насчёт единицы и тройки, экстремум случайно не в двойке ? :)


Ну нет, что Вы. Сами посудите:

$$
g'(x) = (x-1)(x-3)(x-7)(x-11) + x(x-3)(x-7)(x-11) + 
$$
$$
+ x(x-1)(x-7)(x-11) + x(x-1)(x-3)(x-11) + x(x-1)(x-3)(x-7)
$$

$$
g'(2) = 1 \cdot (-1) \cdot (-5) \cdot (-9) + 2 \cdot (-1) \cdot (-5) \cdot (-9) + 2 \cdot 1 \cdot (-5) \cdot (-9) + 
$$
$$
+ 2 \cdot 1 \cdot (-1) \cdot (-9) + 2 \cdot 1 \cdot (-1) \cdot (-5)
$$

Второе и третье слагаемые сокращаются, а первое по модулю перевешивает четвертое и пятое вместе. Значит, $g'(2) < 0$ и, поскольку ноль производной между $1$ и $3$ соответствует минимуму многочлена $g$, то он находится где-то правее.

Честно говоря, я сп%;№*ел насчёт невеликой разницы между действительным и комплексным случаями. На самом деле, моё знание комплана примерно на нуле. Но Вы не переживайте: как только придёт RIP, он в полпинка разрешит Вашу задачу. Ибо он, в отличие от меня, в комплексном анализе бог.

 
 
 
 
Сообщение11.06.2008, 20:35 
Аватара пользователя
Только имейте в виду, что "К чёрту! Задача эквивалентна нахождению корней произвольного многочлена!" - иной раз боги могут дать и такой ответ.

 
 
 
 
Сообщение11.06.2008, 20:37 
Аватара пользователя
Ну чтож, тогда ждём RIP:)

 
 
 
 
Сообщение12.06.2008, 05:01 
Аватара пользователя
Профессор Снэйп писал(а):
Но Вы не переживайте: как только придёт RIP, он в полпинка разрешит Вашу задачу. Ибо он, в отличие от меня, в комплексном анализе бог.

Не надо вводить людей в заблуждение. Я ТФКП знаю от силы на очень слабую троечку.

Про нули производной многочлена можно глянуть в Прасолов В. В. — Многочлены (Гл. 1, п. 2).

 
 
 
 
Сообщение13.06.2008, 14:23 
Аватара пользователя
Профессор Снэйп писал(а):
Draeden писал(а):
Красивая задача должна иметь красивое решение :) к сожалению не всегда простое :(


Честно говоря, я эту задачу первый раз в жизни вижу. Она из какого-то учебника/задачника или Вы её сами придумали?

Во втором случае... чтож, утверждение ВТФ достаточно просто и красиво :)

Для реальных корней задача не сложней вычисления синуса. Если числа, конечно, нужны.
Да и для комплексных, видимо, не слишком сложно. Думать лень, да и никакой полезной нагрузки решение сиё не имеет. А так бы решил.

 
 
 [ Сообщений: 17 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group