Минимальная сумма n-ых степеней расстояний

[slavav]

Rusit8800 в сообщении #1258993 писал(а):

функция касается плоскости $z=0$ в ее минимуме

Не понимаю это выражение.

-- 25.10.2017, 20:11 --

Ага понял. $z$ это значение функции? Не третья барицентрическая координата?
Тогда нет, не касается. Минимум функции больше нуля.

[Rusit8800]

slavav в сообщении #1259000 писал(а):

$z$ это значение функции?

Да

-- 25.10.2017, 20:15 --

slavav в сообщении #1258982 писал(а):

Следовательно глобальный минимум на треугольнике лежит внутри треугольника.

А треугольник лежит на плоскости $z=0$.

[slavav]

Rusit8800 в сообщении #1258998 писал(а):

И пока не понятна какая здесь связь между исследованием функции на минимум и барицентрические координаты. Ведь изначально вторую задачу можно решить без использования ее связи с барицентрическими координатами.

Связь прямая. Вы формулируете задачу в плоскости (реальные точки, расстояния). Но решение исходной задачи равносильно решению задачи в барицентрических координатах, где уже нет всей этой геометрии а остались только степени линейных функций. В таком виде решить задачу проще (ну это только моё мнение, конечно).

-- 25.10.2017, 20:20 --

Rusit8800 в сообщении #1259003 писал(а):

А треугольник лежит на плоскости $z=0$.

Нет, не лежит. Треугольник лежит в области параметров фунции ($\mathbb{R}^3$ для барицетрических координат, плоскость для исходной задачи), а $z = 0$ - понятие из области значений фукции ($\mathbb{R}$).

[Rusit8800]

slavav в сообщении #1259005 писал(а):

Связь прямая. Вы формулируете задачу в плоскости (реальные точки, расстояния). Но решение исходной задачи равносильно решению задачи в барицентрических координатах, где уже нет всей этой геометрии а остались только степени линейных функций. В таком виде решить задачу проще (ну это только моё мнение, конечно).

Да, но мы как раз изначально решаем задачу в барицентрических координатах и сводим ее к исследованию функции, а сейчас, получается, мы сводим задачу исследования функции к изначальной, получается какой-то порочный круг.

[slavav]

Не вижу порочного круга.

Исходная задача "найти точку на плоскости где некоторая функция минимальна".
Затем она сводится в эквивалентной "найти барицентрические координаты где некоторая (уже другая) функция минимальна".
NB! Дальше разговор только про барицентрические координаты. Исходный треугольник исключён из рассмотрения.
Затем применяется необходимое условие минимума и единственные барицентрические координаты найдены. Но надо убедится что они внутри треугольника ($x, y, z > 0$).
По теореме Вейерштрасса (спасибо что напомнили чья она) минимум на треугольнике достигается.
Анализом сужения функции на прямую доказывается что минимум не может быть достигнут на стороне или вершине треугольника.
Значит минимум внутри треугольника.
Значит то решение что даёт необходимое условие лежит внутри треугольника.

Если вы видите проблему, то где она?

[Rusit8800]

slavav в сообщении #1259016 писал(а):

необходимое условие минимума и единственные барицентрические координаты найдены

Это значит, что минимум не лежит вне треугольника($x+y \leqslant 1$)? А потом мы еще улучшаем оценку и говорим, что минимум лежит строго внутри треугольника.

-- 25.10.2017, 21:06 --

Еще не совсем понятно, почему это так?

slavav в сообщении #1258982 писал(а):

Глобальный минимум на треугольнике отобразится в глобальный минимум на прямой

-- 25.10.2017, 21:09 --

То есть почему у подстановки $x=ut$ и $y=vt$ такой геометрический смысл.

-- 25.10.2017, 21:11 --

slavav в сообщении #1258982 писал(а):

Следующее построение. Вернёмся к бариценрическим координатам $(x, y, z), x + y + z = 1$. Проведём прямую через точки $(0, 0, 1)$ и $(x_0, y_0, 0)$. Первая точка - вершина треугольника, вторая - на противолежащей стороне. Заметим что $x_0 + y_0 = 1$. Введём параметрическую прямую: $(x_0t, y_0t, 1 - t)$. Она проходит через обе точки. Обозначим $u = x_0$, $v = y_0$. Параметризация построена.

Ах, блин, так мы рассматриваем ту сумму в барицентрических координатах, а не декартовых. Вот почему вы подсоединили к задаче барицентрические координаты.

-- 25.10.2017, 21:13 --

Однако вопрос о геометрической интерпретации сужения остается под вопросом.

-- 25.10.2017, 21:16 --

И опять же не ясно в каких координатах идет эта интерпретация и почему именно в них.

[slavav]

Я немного приврал. Глобальный минимум на треугольнике отобразится в глобальный минимум на отрезке (не прямой).
Мы ищем $\min\limits_{(x, y, z) \in T}f(x, y, z)$, где $T$ треугольник в барицентрических координатах.
Определим $g(t) = f(x(t), y(t), z(t))$, $g: [0, 1] \to \mathbb{R}$, $x(\cdot), y(\cdot), z(\cdot)$ - параметризация, отображающая отрезок $[0, 1]$ в треугольник $T$.
Пусть $(x_0, y_0, z_0)$ точка глобального минимума $f$. Мы выбрали такую параметризацию что $\exists t_0: x_0 = x(t_0), y_0 = y(t_0), z_0 = z(t_0)$.
Предположим что $t_0$ не точка глобального минимума $g$. Тогда по Вейерштрассу $\exists t_1$: $g(t_1) < g(t_0)$.
Следовательно $f(x(t_1), y(t_1), z(t_1)) < f(x(t_0), y(t_0), z(t_0)) = f(x_0, y_0, z_0)$. Противоречие с тем что $x_0, y_0, z_0$ точка глобального минимума $f$.

-- 25.10.2017, 21:32 --

Rusit8800 в сообщении #1259022 писал(а):

Однако вопрос о геометрической интерпретации сужения остается под вопросом. И опять же не ясно в каких координатах идет эта интерпретация и почему именно в них.

Суженная функция определена на отрезке $[0, 1]$. Параметризация отображает этот отрезок в барицентрический треугольник. Из барицентрического треугольника его можно отобразить на плоскость. Получится обычный отрезок из вершины треугольника (уже в плоскости) на его сторону. Фактически мы устанавливаем как ведёт себя исходная функция на отрезках пересекающих треугольник. Только нам это интерпретация не нужна. Задача уже сведена к математическому анализу на прямой. Геометрии в этой части нет.

[Rusit8800]

slavav в сообщении #1259032 писал(а):

$\exists t_0: x_0 = x(t_0), y_0 = y(t_0), z_0 = z(t_0)$.

Не очевидно. Я как раз таки здесь говорил про изоморфизм, ведь есть взять более общую параметризацию, то вопросов не будет, а здесь она более частная и может случится так, что она не опишет все значения функции $f$, а только часть.

-- 27.10.2017, 20:17 --

slavav в сообщении #1259032 писал(а):

Задача уже сведена к математическому анализу на прямой. Геометрии в этой части нет.

В принципе ладно, главное для меня сейчас - разобраться с изоморфизмом.

-- 27.10.2017, 20:19 --

Я же верно понял, что это ВСЕ доказательство того, что задача об экстремуме суженной функции равносильна задаче поиска максимума исходной функции?

slavav в сообщении #1259032 писал(а):

Я немного приврал. Глобальный минимум на треугольнике отобразится в глобальный минимум на отрезке (не прямой).
Мы ищем $\min\limits_{(x, y, z) \in T}f(x, y, z)$, где $T$ треугольник в барицентрических координатах.
Определим $g(t) = f(x(t), y(t), z(t))$, $g: [0, 1] \to \mathbb{R}$, $x(\cdot), y(\cdot), z(\cdot)$ - параметризация, отображающая отрезок $[0, 1]$ в треугольник $T$.
Пусть $(x_0, y_0, z_0)$ точка глобального минимума $f$. Мы выбрали такую параметризацию что $\exists t_0: x_0 = x(t_0), y_0 = y(t_0), z_0 = z(t_0)$.
Предположим что $t_0$ не точка глобального минимума $g$. Тогда по Вейерштрассу $\exists t_1$: $g(t_1) < g(t_0)$.
Следовательно $f(x(t_1), y(t_1), z(t_1)) < f(x(t_0), y(t_0), z(t_0)) = f(x_0, y_0, z_0)$. Противоречие с тем что $x_0, y_0, z_0$ точка глобального минимума $f$.

[slavav]

Rusit8800 в сообщении #1259729 писал(а):

slavav в сообщении #1259032 писал(а):

$\exists t_0: x_0 = x(t_0), y_0 = y(t_0), z_0 = z(t_0)$.

Не очевидно.

Есть точки $(x_0, y_0, z_0)$ и $(0, 0, 1)$ в барицентрических координатах. Требуется провести через них прямую (очевидно что это возможно) и выбрать линейную параметризацию этой прямой при которой отрезок $[0, 1]$ отображается в отрезок пересекающий треугольник от вершины до стороны. Это простая задача.

Rusit8800 в сообщении #1259729 писал(а):

Я же верно понял, что это ВСЕ доказательство того, что задача об экстремуме суженной функции равносильна задаче поиска максимума исходной функции?

Доказывается более слабый факт: если минимум $f$ достигается на границе треугольника, то существует ограничение этой функции $g$ которое достигает минимума на конце отрезка $[0, 1]$.

[Rusit8800]

slavav в сообщении #1259756 писал(а):

отрезок $[0, 1]$

Почему именно такой отрезок? Только из-за удобства?

-- 28.10.2017, 15:25 --

slavav в сообщении #1259756 писал(а):

Доказывается более слабый факт: если минимум $f$ достигается на границе треугольника, то существует ограничение этой функции $g$ которое достигает минимума на конце отрезка $[0, 1]$.

Странно, а разве вы не доказали, что если $t_0$ - минимум $g$, то

$$\[\mathop {\min }\limits_{(x,y,z) \in T} f(x,y,z) = f(x({t_0}),y({t_0}),z({t_0}))\] $$

?

[slavav]

Rusit8800 в сообщении #1259893 писал(а):

slavav в сообщении #1259756 писал(а):

отрезок $[0, 1]$

Почему именно такой отрезок? Только из-за удобства?

Отрезок $[0, 1]$ удобен так вы исследуете сумму слагаемых вида $Ct^p$ и $C(1-t)^p$. Слагаемые (и их производные) обнуляются на концах, что даёт нужный вид функции. Вообще вы можете выбрать любую линейную параметризацию. Если она будет отображать отображать отрезок $t_{min}$ на вершину, а $t_{max}$ на сторону треугольника, то вы получите сумму элементов вида $C(t-t_{min})^p$ и $C(t_{max}-t)^p$. Анализ будет тем же самым.

Rusit8800 в сообщении #1259893 писал(а):

slavav в сообщении #1259756 писал(а):

Доказывается более слабый факт: если минимум $f$ достигается на границе треугольника, то существует ограничение этой функции $g$ которое достигает минимума на конце отрезка $[0, 1]$.

Странно, а разве вы не доказали, что если $t_0$ - минимум $g$, то

$$\[\mathop {\min }\limits_{(x,y,z) \in T} f(x,y,z) = f(x({t_0}),y({t_0}),z({t_0}))\] $$

?

Это факт верный, но его не надо доказывать. Мы так выбираем $x(\cdot), y(\cdot), z(\cdot)$ что $\exist t_0 (x(t_0), y(t_0), z(t_0))$ - точка минимума $f$.

[Rusit8800]

Ничего не понимаю. Зачем доказывать, что минимум лежит внутри треугольника, если можно просто исследовать $g(t) = f(x(t), y(t), z(t))$ на экстремум, доказать, что он минимум, подставить его в основную функцию и доказать неравенства, показывающие ,что он лежит в данной области?

-- 28.10.2017, 16:33 --

Что то вообще как-то все непонятно, несмотря на мои попытки понять.

[slavav]

Так делать нельзя. Можно привести примеры $g$ и $f$ когда некоторая точка есть минимум для сужения $g$ но не минимум исходной функции $f$.
Пусть $f(x, y) = x^2 - y^2$, а $g(t) = f(t, 0)$. Тогда 0 - минимум для $g$, но соответствущая точка $(0, 0)$ не минимум для $f$.

[Rusit8800]

Ладно, допустим я каким-то невероятным способом понял ваше доказательство того, что минимум лежит строго внутри треугольника. Что делать дальше? Как искать минимум на данном промежутке?

[slavav]

Его не надо искать на промежутке. Вы уже всё исследовали раньше, когда нашли минимум в барицентрических координатах по необходимому признаку минимума функции двух переменных.

Другими словами, вы давно нашли ответ к задаче. Сейчас мы только доказали что этот ответ корректный.