Функции: свойства и графики (Давидович)

[ewert]

grizzly в сообщении #1259222 писал(а):

это самое первое упоминание функции в этом курсе. Так что пока давайте считать, что на данный момент известны только определения функции и монотонности.

Не дам. Обратите внимание, что в этой задаче требуют построить график функции, хотя определения графика не давалось даже намёком. Тем самым подразумевается, что понятие функции (вместе с понятием графика) уже известно, а те самым известны и графики простейших функций. Другое дело, что на эти давние воспоминания можно лишь ориентироваться, доказывать же монотонность и всё прочее следует сугубо формально.

Кстати:

irod в сообщении #1254243 писал(а):

$fh$ может быть ограничена (если множество значений $f$ есть ноль) или не ограничена;
$f/g$ может быть ограничена или не ограничена (если значения $g$ сколь угодно близко приближаются к нулю);
$f/h$ может быть ограничена или не ограничена (если значения $h$ сколь угодно близко приближаются к нулю).

"Сколь угодно близко приближаться" пока нельзя: это следующий листок. Надо просто придумывать конкретные примеры.

[irod]

ewert в сообщении #1259228 писал(а):

хотя определения графика не давалось даже намёком

На самом деле давалось еще в листке 3 "Отображения множеств":
Графиком отображения $f:X\to Y$ называется множество $G(f)\subset X\times Y$, состоящее из всех пар вида $(x,f(x))$.

-- 26.10.2017, 14:11 --

grizzly в сообщении #1259210 писал(а):

Я думаю, задание всё же предполагает в первую очередь исследовать на монотонность, а потом уже строить графики. (Я не предлагаю это делать для этой задачи -- уж больно это школьный материал, но понимать как делать такое исследование без графика необходимо.)

Я изначально очень хотел сделать этот листок ради рисования графиков. Мне кажется у меня с ними есть проблемы.

grizzly в сообщении #1259210 писал(а):

Дальше будут другие задачи с условием "исследовать и построить график". Если эти задачи слишком просты, я предлагаю выбирать самую сложную функцию из предложенных и исследовать её по полной программе.

Тогда пусть это будет функция $\frac{ax+b}{cx+d}$ из 2.в. Позже попробую расписать все по ней.

ewert в сообщении #1259228 писал(а):

Другое дело, что на эти давние воспоминания можно лишь ориентироваться, доказывать же монотонность и всё прочее следует сугубо формально.

Хорошо, пусть будет формально.
2.а) $ax+b$
Из $x_1>x_2$ следует $ax_1+b>ax_2+b$ при $a>0$ и $ax_1+b<ax_2+b$ при $a<0$, что означает монотонное возрастание и убывание соответственно.
При $a=0$ имеем $ax_1+b=ax_2+b$ для любых $x_1,x_2$, что можно рассматривать как монотонное неубывание или невозрастание.

[grizzly]

ewert в сообщении #1259228 писал(а):

Тем самым подразумевается, что понятие функции (вместе с понятием графика) уже известно, а те самым известны и графики простейших функций.

Вы правы. Понятие графика вводилось в 8-м классе для отображений (см. листок 3 учебника). И графики простейших отображений были, конечно. Но они были конечных множествах. Никаких простейших функций типа парабол там не было.

[ewert]

irod в сообщении #1259232 писал(а):

2.а) $ax+b$
Из $x_1>x_2$ следует $ax_1+b>ax_2+b$ при $a>0$ и $ax_1+b<ax_2+b$ при $a<0$, что означает монотонное возрастание и убывание соответственно.
При $a=0$ имеем $ax_1+b=ax_2+b$ для любых $x_1,x_2$, что можно рассматривать как монотонное неубывание или невозрастание.

Да, ровно так. Теперь аналогичным образом докажите монотонность для параболы (там заклинаний потребуется больше, но не намного). А когда будете разбирать дробь -- чтобы лишней работы не делать, учтите, что случай $c<0$ естественным образом объединяется со случаем $c>0$.

grizzly в сообщении #1259246 писал(а):

В любом случае никаких парабол там не было и быть не могло.

Напротив -- их там не могло не быть. Поскольку рисование парабол -- занятие достаточно трудоёмкое, если начинать его с нуля. Точнее, к ним надо достаточно долго привыкать. Этот же листок слишком куций для подобного рода деятельности.

[grizzly]

ewert в сообщении #1259249 писал(а):

Напротив -- их там не могло не быть.

Ваши аргументы выглядят неубедительно. Как Вы считаете, почему авторы учебника листок об отображениях называют примерно "несложными манипуляциями со стрелаками, которые носят иллюстративный характер", а текущий листок -- "весьма трудоёмким рисованием картинок"?

[ewert]

grizzly в сообщении #1259255 писал(а):

почему авторы учебника листок об отображениях называют примерно "несложными манипуляциями со стрелаками, которые носят иллюстративный характер", а текущий листок -- "весьма трудоёмким рисованием картинок"?

Я могу это объяснить разве что тем, что они обманывают, отводя на это дело всего лишь ноябрь. Вот ноябрь плюс декабрь -- это было бы вполне приемлемо, за это время действительно можно научить строить графики с нуля. Но тогда там слишком мало задач и они слишком плохо систематизированы.

[irod]

Кстати, у меня есть книжка Гельфанда, Глаголевой и Шноль "Функции и графики", и я собираюсь ее почитать параллельно с этим листком. Как считаете, она того стОит?

[grizzly]

irod в сообщении #1259279 писал(а):

Как считаете, она того стОит?

Хорошая книга. Старайтесь только в пределах планируемого времени соблюдать какие-то разумные пропорции между изучением теории и решением упражнений / задач из той книги.

[irod]

irod в сообщении #1259199 писал(а):

Задача 2.
Исследовать на монотонность следующие функции и построить их графики:
б) $ax^2+bx+c$

Формальное исследование на монотонность.
Рассмотрим различные сочетания нулевых, положительных и отрицательных $a,b$.
При $a=0$ имеем функцию из п.а).
При $b=0$ аналогично п.а), т.е. возрастает при $a>0$, убывает при $a<0$ и не убывает/не возрастает при $a=0$.
$a>0,b>0$:
$x_1>x_2\Rightarrow ax_1^2+bx_1+c>ax_2^2+bx_2+c$ -- возрастает.
$a<0,b<0$:
$x_1>x_2\Rightarrow ax_1^2+bx_1+c<ax_2^2+bx_2+c$ -- убывает.
$a$ и $b$ имеют разный знак ($a>0,b<0$ или $a<0,b>0$):
из $x_1>x_2$ не следует ни $ax_1^2+bx_1+c>ax_2^2+bx_2+c$, ни $ax_1^2+bx_1+c<ax_2^2+bx_2+c$, т.е. функция не является монотонной.

-- 26.10.2017, 16:26 --

grizzly в сообщении #1259291 писал(а):

irod в сообщении #1259279 писал(а):

Как считаете, она того стОит?

Хорошая книга. Старайтесь только в пределах планируемого времени соблюдать какие-то разумные пропорции между изучением теории и решением упражнений / задач из той книги.

Ок, спасибо.

-- 26.10.2017, 16:28 --

kotenok gav в сообщении #1259208 писал(а):

irod в сообщении #1259199 писал(а):

при $a>0$ убывает на $(-\infty,0]$ и возрастает на $[0,+\infty)$,
при $a<0$ возрастает на $(-\infty,0]$ и убывает на $[0,+\infty)$.

Неверно.

Да, меня сбили с толку мои же кривые графики.

[EUgeneUS]

irod в сообщении #1259292 писал(а):

Да, меня сбили с толку мои же кривые графики.

Вы еще раз сбились с толку

Вот это (и аналогичный вывод ниже) неверно:

irod в сообщении #1259292 писал(а):

$a>0,b>0$:
$x_1>x_2\Rightarrow ax_1^2+bx_1+c>ax_2^2+bx_2+c$ -- возрастает.

Попробуйте поступить с неравенством по-честному. Сократить лишнее, разницу квадратов разложить, посмотреть когда оно верное, а когда нет....

[ewert]

irod в сообщении #1259292 писал(а):

$x_1>x_2\Rightarrow ax_1^2+bx_1+c>ax_2^2+bx_2+c$ -- возрастает.

Вот с какой стати-то?

Для функции $f(x)=ax+b$ монотонность мгновенно следует из аксиом согласования поля и порядка (которые Давидович довольно неудачно обозвал задачами 3 и 4 из листка 7; но, тем не менее, сами-то эти утверждения были). А здесь Вы на что именно ссылаетесь?...

Вот не верю, что Вас не учили решать квадратные уравнения. Если же учили -- Вы должны знать и то, откуда берутся формулы для его корней.

[EUgeneUS]

ewert в сообщении #1259301 писал(а):

Вот не верю, что Вас не учили решать квадратные уравнения. Если же учили -- Вы должны знать и то, откуда берутся формулы для его корней.

Единственное, что нужно знать - формулу разложения разности квадратов на множители. ИМХО.

[ewert]

EUgeneUS в сообщении #1259332 писал(а):

Единственное, что нужно знать - формулу разложения разности квадратов на множители. ИМХО.

Нет, как раз это и не нужно. А вот что нужно безусловно -- так это уметь выделять полный квадрат. Единственное, чего я не знаю: проходят ли эту тему в одиннадцатом классе или в первом?... (в той школе всё возможно, там народ продвинутый)

irod, разберитесь сначала с монотонностью чистого $x^2$. После чего всё должно стать очевидным.

[irod]

Исправляю свою параболу.
2.б) $ax^2+bx+c$

При $a=0$ имеем функцию из п.а).
Пусть теперь $a\neq 0$.
Выделим полный квадрат: $f(x)=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2+c-\frac{b^2}{4a}$.
Отсюда видно, что $f(x_1)\geq f(x_2)\Leftrightarrow\left|x_1+\frac{b}{2a}\right|\geq\left|x_2+\frac{b}{2a}\right|$ ($f(x_1)\leq f(x_2)\Leftrightarrow\left|x_1+\frac{b}{2a}\right|\leq\left|x_2+\frac{b}{2a}\right|$). Из $x_1>x_2$ не следует ни $\left|x_1+\frac{b}{2a}\right|>\left|x_2+\frac{b}{2a}\right|$, ни $\left|x_1+\frac{b}{2a}\right|<\left|x_2+\frac{b}{2a}\right|$, следовательно, функция не является монотонной.
После выделения полного квадрата также видно, что график получается из параболы $y=ax^2$ сдвигом на $-\frac{b}{2a}$ параллельно оси $Ox$, и сдвигом на $c-\frac{b^2}{4a}$ параллельно оси $Oy$.

svv в сообщении #1259211 писал(а):

Нет. Из картинок видно, что автор считает, что при $b=0$ ось симметрии параболы вертикальна, при $b>0$ парабола поворачивается против часовой стрелки, а при $b<0$ — по часовой стрелке. Стройная система получается: $a$ отвечает за растяжение, $b$ за поворот, $c$ за сдвиг по вертикали. Но вершина параболы всегда лежит на оси ординат.

Да, именно так и думал. Теперь понятно какие тут ошибки. Проговорю на всякий случай: оси симметрии параболы всегда параллельная $Oy$, а коэффициенты $a,b,c$ влияют только на "сжатость" ветвей, их направление (вверх или вниз) и на координаты вершины.

Sender в сообщении #1259214 писал(а):

irod, как, по-вашему, будет выглядеть график функции $y(x)=(x-1)^2$?

Это обычная парабола $y=x^2$, сдвинутая по оси $Ox$ вправо на $1$, т.е. ветви параболы подняты вверх, вершина в точке $(1,0)$, ось симметрии параллельна оси $Oy$.

[irod]

Что-то тяжело у меня идет рисование графиков по этому листку. Как-то сложно вот так вот, ничего про графики не зная (не помня), взять и нарисовать график дробно-линейной функции. Можно конечно прочитать все в википедии, но я ж нормально научиться хочу.

ewert в сообщении #1259269 писал(а):

Я могу это объяснить разве что тем, что они обманывают, отводя на это дело всего лишь ноябрь. Вот ноябрь плюс декабрь -- это было бы вполне приемлемо, за это время действительно можно научить строить графики с нуля. Но тогда там слишком мало задач и они слишком плохо систематизированы.

Может быть Вы или кто-то другой подскажете мне где я могу взять хорошо систематизированные задачи по теме? Может быть подскажете мне например конкретные упражнения из упомянутой выше книги "Функции и графики". Я бы выкладывал их в этой теме вместе с задачами из Давидовича. Или просто позадавайте мне по-больше доп.вопросов типа такого:

Sender в сообщении #1259214 писал(а):

irod, как, по-вашему, будет выглядеть график функции $y(x)=(x-1)^2$?

Еще момент: по некоторым бытовым причинам у меня нет возможности уделять рисованию графиков столько же времени сколько я могу уделять обычным доказательствам. Поэтому я хочу распараллелить свою учебу, и начать сейчас параллельно делать следующий листок - по пределу функции. Вроде бы он не сильно завязан на предыдущем листке. Никто не против?