Целые части степеней иррациональных чисел

[Taras]

Возник следующий вопрос:
Пускай $ \alpha,\beta \in \mathbb{R} $,$\alpha \neq \beta$, $ \alpha, \beta >1$ - иррациональные числа
Правда ли тогда, что существует такое $ n_0$, что при всяком $n>n_0$ $[\alpha^{n}] \neq [\beta^{n}]$?

[Echo-Off]

Неправда: $\alpha=\frac {\sqrt2}2$, $\beta=\frac {\pi} {1000}$.

Если же потребовать $\alpha>1$ и $\beta>1$, то да

[ewert]

Taras писал(а):

Возник следующий вопрос:
Пускай $ \alpha,\beta \in \mathbb{R} $,$\alpha \neq \beta$ - иррациональные числа..
Правда ли тогда, что существует такое $ n_0$, что при всяком $n>n_0$ $[\alpha^{n}] \neq [\beta^{n}]$?

Во-первых, причём здесь иррациональность? Во-вторых, по большому счёту -- правда, т.к. показательные функции меняются с категорически разной скоростью. В-третьих, буквально -- неправда: утверждение нарушается для $\alpha=-\beta$ при чётных $n$.

------------------------------
Пыс. Да, и ещё, действительно, хоть одно число должно быть по модулю больше единицы, и там ещё про знаки чего-то надо добавить, но уже лень.

[Taras]

Исправил, думал как и Echo-Off.
2 ewert а в исправленной версии?

Добавлено спустя 5 минут 10 секунд:

Re: Свойство целой части

ewert писал(а):

Во-вторых, по большому счёту -- правда, т.к. показательные функции меняются с категорически разной скоростью.

Это как?

[Профессор Снэйп]

Вот здесь есть кое-что на эту тему. В добавок к тому, что там, сформулирую следующую задачу (решается методом из той темы, только конструкция чуть попроще).

Доказать, что для любого натурального $k>0$ существует трансцендентное $\alpha > 1$, такое что $[\alpha^n]$ делится на $k$ для любого натурального $n>0$.