2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




 
 Целые части степеней иррациональных чисел
Сообщение10.06.2008, 21:00 
Аватара пользователя
Возник следующий вопрос:
Пускай $ \alpha,\beta \in \mathbb{R} $,$\alpha \neq \beta$, $ \alpha, \beta >1$ - иррациональные числа
Правда ли тогда, что существует такое $ n_0$, что при всяком $n>n_0$ $[\alpha^{n}] \neq [\beta^{n}]$?

 
 
 
 
Сообщение10.06.2008, 21:04 
Аватара пользователя
Неправда: $\alpha=\frac {\sqrt2}2$, $\beta=\frac {\pi} {1000}$.

Если же потребовать $\alpha>1$ и $\beta>1$, то да

 
 
 
 Re: Свойство целой части
Сообщение10.06.2008, 21:09 
Taras писал(а):
Возник следующий вопрос:
Пускай $ \alpha,\beta \in \mathbb{R} $,$\alpha \neq \beta$ - иррациональные числа..
Правда ли тогда, что существует такое $ n_0$, что при всяком $n>n_0$ $[\alpha^{n}] \neq [\beta^{n}]$?

Во-первых, причём здесь иррациональность? Во-вторых, по большому счёту -- правда, т.к. показательные функции меняются с категорически разной скоростью. В-третьих, буквально -- неправда: утверждение нарушается для $\alpha=-\beta$ при чётных $n$.

------------------------------
Пыс. Да, и ещё, действительно, хоть одно число должно быть по модулю больше единицы, и там ещё про знаки чего-то надо добавить, но уже лень.

 
 
 
 
Сообщение10.06.2008, 21:21 
Аватара пользователя
Исправил, думал как и Echo-Off.
2 ewert а в исправленной версии?

Добавлено спустя 5 минут 10 секунд:

Re: Свойство целой части

ewert писал(а):
Во-вторых, по большому счёту -- правда, т.к. показательные функции меняются с категорически разной скоростью.

Это как? :?

 
 
 
 
Сообщение10.06.2008, 21:25 
Аватара пользователя
Вот здесь есть кое-что на эту тему. В добавок к тому, что там, сформулирую следующую задачу (решается методом из той темы, только конструкция чуть попроще).

Доказать, что для любого натурального $k>0$ существует трансцендентное $\alpha > 1$, такое что $[\alpha^n]$ делится на $k$ для любого натурального $n>0$.

 
 
 [ Сообщений: 5 ] 


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group