Человек на платформе

[wrest]

atlakatl в сообщении #1258524 писал(а):

Чем же очень маленькие колёса принципиально отличаются от скольжения без трения?

Тем что при скольжении без трения вся масса двигается поступательно, а в случае наличия непроскальзывающих колес, часть массы движется еще и вращательно. Очень маленькие колеса имеют очень маленькую "вращательную" массу.

Кинетическая энергия тележки с невесомой платформой и массивными колесами вся "заключена" в колесах.
Когда что-то круглое катится по плоскости, то кинетическая энергия такого тела состоит из двух частей: кинетической энергии связанной с поступательным движением центра масс, $mv^2/2$ и кинетической энергией вращения этого тела вокруг оси, $J\omega^2/2$ ($J$ - момент инерции, $\omega$ - угловая скорость вращения). Если ось колеса радиусом $r$ движется со скоростью $v$ и колесо не проскальзывает по земле, то скорость вращения колеса равна $\omega=v/r$. Тогда сумма "поступательной" и "вращательной" кинетической энергии такого колеса будет равна $Mv^2/2+J(\frac vr)^2/2$
Получается, что если вы к оси массивного колеса с "тяжелой" массой $M$, у которого нет проскальзывания с землей, прикладываете горизонтальную силу $F$, то ось будет разгоняться не с ускорением $a=F/M$, а с ускорением меньшим, равным $a=F/(M+J/r^2)$, то есть массивное не проскальзывающее колесо будет ускоряться медленней чем скользящее именно за счет того, что непроскальзывающее колесо еще будет раскручиваться. "Дополнительная" масса, которая замедляет ускорение, получается равной $J/r^2$ и поскольку для колеса в виде сплошного диска момент инерции $J=Mr^2/2$, то дополнительная "инерционная" масса составит половину "тяжелой" массы такого колеса и колесо с "тяжелой" массой $M$ будет разгоняться под действием силы так, как будто его "инерционная" масса в полтора раза больше "тяжелой", т.е. равна $1,5M$

Поскольку разгоняться массивное колесо у которого нет проскальзывания по земле будет в полтора раза медленней чем колесо которое по земле скользит, то и расстояние оно пройдёт меньшее. И если для тележки у которой колеса скользят (то есть не вращаются) мы получаем ответ к задаче равный $\frac{mL}{m+2M}$, то в случае непроскальзывающих колес, их массу мы умножаем на полтора и получаем ответ $\frac{mL}{m+2\cdot 1,5M}=\frac{mL}{m+3M}$

Вот это и есть принципиальное отличие ситуаций когда проскальзывание между колесом и землей есть и когда его нет.

Это все уже описано другими словами в постах выше, но может было непонятно, так что я попробовал еще больше упростить.

[atlakatl]

wrest в сообщении #1258547 писал(а):

мы получаем ответ к задаче равный $\frac{mL}{m+2M}$,

У oleg_2 другой ответ: $l_2=\cfrac{mL}{M_b+m}$.

[wrest]

atlakatl в сообщении #1258549 писал(а):

У oleg_2 другой ответ: $l_2=\cfrac{mL}{M_b+m}$.

Потому что разными буквами обозначено разное. В исходной задаче два колеса массой $M$ каждое, то есть масса тележки (невесомая платформа + масса двух колес) равна $2M$ :)
Вы уж повнимательней как-то читайте ;)

[EUgeneUS]

atlakatl в сообщении #1258544 писал(а):

Значит, всё-таки скачок? Было-было колёсико - с 3М в формуле - а потом резко - просто М.

Тогда чуть более развернуто.

Устремить к нулю радиус окружности, устремить к нулю радиус круга и отсутствие круга или окружности - это три большие разницы. Ничего резкого не происходит.

[atlakatl]

Всё стёр.

[pogulyat_vyshel]

fred1996 в сообщении #1258546 писал(а):

Все, что нам нужно от этого трения подошв о платформу, это третий закон Ньютона

да, это я перемудрил по своему обыкновению

[wrest]

pogulyat_vyshel
Нагуглил эту задачку тут: http://www.e-science.ru/groups/%D0%BF%D ... 0%B0%D1%8F
Скажите, а вы откуда её взяли, не знаете первоисточник?

[amon]

Уважаемый pogulyat_vyshel,
IMHO, написанное Вами решение высоко художественно, научно-популярно, но абсолютно неверно. Во-первых, Ваша функция Лагранжа

pogulyat_vyshel в сообщении #1258388 писал(а):

$$\mathcal L(t,x,\dot x)=\frac{m}{2}\Big(\dot\phi+\dot x\Big)^2+\frac{3}{2}M\dot x^2.$$

сохраняет не только импульс, но и энергию (собственно, она ей и равна). Поэтому, если в начальный момент энергия была нулем, она, как положительно определенная квадратичная форма, нулем навсегда и останется, и все скорости будут нулями навсегда. Кроме того, помимо написанного Вами импульса, есть и второй: $p_\phi=\frac{\partial\mathcal L}{\partial \dot{\phi}}=m\dot{\phi}+2m\dot{x}$, который, увы, тоже сохраняется. Что из этого следует сами понимаете. Ваше $\phi$ такая же равноправная переменная, как и $x$, поскольку в Вашей постановке у задачи две степени свободы (исходные $x$ и $y$ могут меняться независимо, а Вы просто их переобозначили). Вы считаете, что можно задать $\phi(t)$ независимо от $x(t)$, но человек отталкивается от платформы, поэтому на него и на платформу действуют некие силы $f_\text{man}(t)$ и $f_\text{bed}(t)$. Если их приравнять, то ничего, кроме сохранения положения центра масс платформы+человека не получится, и колеса не нужны. Если не приравнивать, то ничего в системе платформа+человек не сохраняется, и надо вводить в рассмотрение взаимодействие с третьим телом (матерью сырой Землей).

Со вторым решением пока не разбирался, и на своем не настаиваю - там есть засада, которую я упустил.

[AnatolyBa]

Я с самого начала был согласен с решением lel0lel и ждал подвоха. Авторское решение меня удивило. Человек поел, набрался энергии (химической), пошел по платформе, возможно шаркающей кавалерийской походкой, с диссипацией. И к этому всему применять уравнение Лагранжа? Но ответ то правильный (ИМХО). В принципе, вместо человека можно взять грузик на пружине, пружина прикреплена к платформе. В этом случае сомнений в применимости уравнения Лагранжа нет, но нужно добавить потенциальную энергию $U(\phi)$. Это не изменит по сути авторского решения и ответа, но решит проблему с энергией на которую указал amon.
Все-таки мне не ясно, случайно ли получен правильный ответ (в варианте с человеком, с возможно шаркающей походкой), или за этом что-то стоит. После замечания amon'а мне кажется, что случайно

[EUgeneUS]

amon

amon в сообщении #1259166 писал(а):

$\varphi$ такая же равноправная переменная, как и $x$, поскольку в Вашей постановке у задачи две степени свободы (исходные $x$ и $y$ могут меняться независимо, а Вы просто их переобозначили).

$\varphi$ - не переменная, а управляющий параметр. Задача одномерная.

[realeugene]

amon в сообщении #1259166 писал(а):

IMHO, написанное Вами решение высоко художественно, научно-популярно, но абсолютно неверно.

IMHO там просто пишется лагранжиан системы с явно зависящей от времени связью, при этом, добавление связи уменьшает размерность конфигурационного пространства на единицу. Не помню уже тонкостей систем со связями, но криминала не видно.

[pogulyat_vyshel]

amon в сообщении #1259166 писал(а):

MHO, написанное Вами решение высоко художественно, научно-популярно, но абсолютно неверно. Во-первых, Ваша функция Лагранжаpogulyat_vyshel в сообщении #1258388

писал(а):

$$\mathcal L(t,x,\dot x)=\frac{m}{2}\Big(\dot\phi+\dot x\Big)^2+\frac{3}{2}M\dot x^2.$$

сохраняет не только импульс, но и энергию (собственно, она ей и равна).

уважаемый amon, $\phi$ -- это заданная функция времени, поэтому лагранжиан зависит от времени явно и энергия не сохраняется, то что вы там ниже написали про второй интеграл импульса это тоже чепуха соответственно

[realeugene]

pogulyat_vyshel,
да, красиво.

[fred1996]

Ох уж этот формализм.
Все про него слышали, а как толком применять, знают единицы.

[amon]

pogulyat_vyshel в сообщении #1259189 писал(а):

$\phi$ -- это заданная функция времени, поэтому лагранжиан зависит от времени явно и энергия не сохраняется

Это, простите как? Для того, чтобы тело проехало по произвольной траектории $\phi(t)$ к нему надо приложить вполне определенную силу $f=\frac{\ddot{\phi}}{m}$. "Другим концом" эта сила приложена к платформе. Если считать силу потенциальной (что в данной задаче неважно, в ней - хоть диссипативная), то в лагранжиан допишется потенциал $U(x-y)$. Проделайте Ваши волшебные трюки для пружинки, как предлагал AnatolyBa, и посмотрите на результат.

Вообще, если отбросить всякую шелуху и заумь, в задаче сохраняется полный импульс системы человек+платформа. Сообразить (если в этом есть нужда) это можно из простых соображений трансляционной инвариантности системы. На пальцах - если мы пнём платформу с человеком, то поедет она, сердешная, равномерно и прямолинейно. Если в этот момент человек вскочит, и начнет бегать по платформе как наскипидаренный, то центр инерции системы этой суеты не заметит, и продолжит свое равномерное и прямолинейное движение. (Если бы это было не так, то получилось бы, что можно изменить полный импульс только внутренними силами системы - мечта строителей инерциоидов, на которые тут намекали) Из сохранения полного импульса следует что если система исходно его не имела, то что бы мы внутри нее не проделывали (на платформе стоял трактор, мы завели мотор, разогнали трактор, а потом ударили по тормозам), ее центр инерции не сдвинется, если нет диссипации в системе платформа+Земля. Так что осторожно настаиваю на своём ответе (причины осторожности пока придержу).