Человек на платформе

[wrest]

fred1996 в сообщении #1258362 писал(а):

Ладно, давайте по чесноку распишем все уравнения.

А теперь кладем платформу сверху на диски (она оказывается параллельна земле, на высоте $2r$ от земли), проскальзывания между платформой и дисками (колесами) нет.
Изменится ли решение? :)

[pogulyat_vyshel]

Направим неподвижную горизонтальную ось $X$ слева направо. Через $x$ обозначим координату точки платформы, в которой находился человек в начальный момент через $y$ обозначим координату человека, $x=x(t),\quad y=y(t)$. Кинетическая энергия системы имеет вид

$$T=\frac{1}{2}m\dot y^2+2\Big(\frac{1}{2}M\dot x^2+\frac{1}{2}J\Big(\frac{\dot x}{r}\Big)^2\Big),\quad J=Mr^2/2.$$

Предположим, что человек шел по платформе время $\tau$. Координаты $x,y$ связаны соотношением

$$y=\phi+x,\qquad (*)$$

где $\phi=\phi(t)$ -- закон движения человека относительно платформы. Будем считать, что координаты введены так, что $\phi(0)=0,\quad x(0)=0$. По условию

$$\dot x(0)=0,\quad \dot\phi(0)=0,\quad \phi(\tau)=L.\qquad (**)$$

Подставляя формулу (*) в кинетическую энергию получаем лагранжиан

$$\mathcal L(t,x,\dot x)=\frac{m}{2}\Big(\dot\phi+\dot x\Big)^2+\frac{3}{2}M\dot x^2.$$

Поскольку $\frac{\partial\mathcal L}{\partial x}=0$, уравнение Лагранжа приобретает вид

$$\frac{d}{dt}\frac{\partial \mathcal L}{\partial\dot x}=0,$$

откуда получается закон сохранения обобщенного импульса:

$$\frac{\partial\mathcal L}{\partial\dot x}=m\dot\phi+m\dot x+3M\dot x=const.\qquad(!)$$

В условий (**) имеем $const=0$.
Интегрируя (!) получаем

$$m\phi+(3M+m)x=const_1.$$

В силу выбора системы координат будет $const_1=0$. Откуда, используя равенство $\phi(\tau)=L$ находим

$$mL+(3M+m)x(\tau)=0.$$

Ответ:

$$x(\tau)=-\frac{mL}{3M+m}.$$

[fred1996]

А теперь объясните мне "простую задачку" про человека в лодке.
Пусть у нас изначально есть человек в лодке на поверхности озера. Никто никуда не движется. Из условия равновесия имеем, что центр тяжести системы человек-лодка находится на тойсже вертикальной прямой, что и центр тяжести вытесненной жидкости.
Да и массы их из-за Архимеда совпадают. Конечно, если человек начнет перемещаться в лодке, лодка начнет перемещаться подичеловеком относительно озера. И утверждается. Что ЦТ человек-лодка остантся на месте. При этом на месте останется ЦТ вытесненной жидкости.
Ну и в принципе это есть решение задачи.
Но.
Оно же не единственное.
Предположим, что каким-то образом ЦТ системы лодка-человек сместился. На какое-то расстояние $x$ в силу неведомых причин. Это значит, что теперь лодка вытеснила воду в другом месте, а там где она стояла раньше, теперь место заполняет вода с тем же центром тяжести и массой, что у лодки с человеком вначале. То есть грубо говря, лодка с человеком переместились из одного места в другое, и такая же масса воды переместилась в обратную сторону. То есть теперь в системе лодка-человек-вода ЦТ остался на месте.
Получается, что лодка может преместиться на любое расстояние и это тоже будет решение.

[oleg_2]

Попытка простого решения исходной задачи.
Сперва решаю задачу без колес, т. е. заменяю тележку на брусок массой $M_b$, скользящий по столу без трения. См. рис.
$l_1$ -смещение человека относительно стола.
$l_2$ -смещение бруска относительно стола.
$L$ -смещение человека относительно бруска.
$M_b$ -масса бруска.
$m$ -масса человека.

$M_b l_2=ml_1=m(L-l_2)=mL - ml_2$
$M_b l_2 + ml_2 = mL$
$l_2(M_b+m)=mL$
$l_2=\cfrac{mL}{M_b+m}$
$l_2$ -это ответ для этой упрощенной задачи.

Рассмотрим колесо массы $M$ на оси (см. рис. ниже). К оси приложена сила $F$, а часть этой силы $F_1$ вместе с силой трения о стол $F_c$ образуют пару сил для раскрутки колеса. Обозначу $\mu$ момент этой пары сил, приложенный к колесу. Другая часть $F_2$ силы $F$ способствует поступательному движению всей массы колеса с ускорением.

$a$ -поступательное ускорение колеса или тележки.
$\mu$ -момент сил.
$J$ -момент инерции колеса.
$\omega$ -угловая скорость вращения колеса.
$F=F_2 + F_1 = Ma + F_1$
$\mu=F_1r$ -момент на колесе, откуда:
$F_1=\cfrac{\mu}{r}$
Формула-аналог второго закона Ньтона для вращения:
$\mu = J \dot \omega$, подставим её:
$F_1=\cfrac{\mu}{r}=\cfrac{J \dot \omega}{r}$
Выразим связь поступательного и вращательного ускорений колеса:
$a=r \dot \omega$
$\dot \omega = a/r$
Подставим $a$ вместо $\omega$:
$F_1=\cfrac{J \dot \omega}{r}=\cfrac{J}{r} \cdot \cfrac{a}{r}=\cfrac{J}{r^2}a$
Для силы $F$ пишу:
$F = Ma + F_1=Ma + \cfrac{J}{r^2}a = (M + \cfrac{J}{r^2})a$
Выпишу результат:
$F = (M + \cfrac{J}{r^2})a$
Эта формула дает связь силы, приложенной к оси, и поступательного ускорения катящегося колеса, я назвал выражение в скобках эффективной массой колеса $K_k$:
$K_k = M + \cfrac{J}{r^2}$
Для дискового колеса
$J=Mr^2/2$
подставим:
$K_k = M + \cfrac{J}{r^2} = M + \cfrac{Mr^2}{2r^2}= M + M/2 = 1,5 \cdot M$
У тележки два колеса, найдем эффективную массу тележки $K$:
$K = 2K_k=3M$
Подставим $K$ вместо массы бруска $M_b$ в полученную выше формулу для бруска:
$l_2=\cfrac{mL}{M_b+m}=\cfrac{mL}{K+m}=\cfrac{mL}{3M+m}$

Прошу посмотреть моё решение и предупреждаю, что если ответ будет положительным, т. е. если это моё "решение" на самом деле является решением, то задача не тянет на олимпиадную, т. к. мой уровень ниже олимпиадного.

(Оффтоп)

По-моему, в качестве иллюстрации к задаче подошли бы игрушечные машинки с инерционным мотором - там убыстряющий редуктор и маховичок. Терпеть не могу, когда дети перестают ломать игрушки.

[atlakatl]

pogulyat_vyshel в сообщении #1258388 писал(а):

$$x(\tau)=-\frac{mL}{3M+m}.$$

Т.е. если платформа невесомая, то человек будет толкать её "на себя, от себя", ни на мм не сдвигаясь относительно перрона.

[atlakatl]

Интересно, что один толстяк сместит платформу на меньшее расстояние, чем два человека с общим весом, равным его, и последовательно проходящих тот же путь.

[fred1996]

oleg_2
В ваших рассуждениях есть весьма существенные неточности. Это независтммо от того, правильный ответ у вас или нет.
Дело в том, что при рассмотрении движения твердого тела мы расписываем все уравнения для поступательного и вращательного движения с использованием всех сил. И они участвуют в равной степени и в тех и в других уравнениях. Это все выводится теоретически из второго и третьего закона Ньютона. И нельзя говорить что вот мол какая-то часть силы ответственна за поступательное, а какая-то за вращательное движение. Сила одна. И она участвует и там и там. Эту концепцию нужно хорошо усвоить, чтобы потом не ломать голову опять на эту тему.

Второе замечание относится скорее уже к практике более высокого порядка в такого сторта задачах. В школе мы привыкли решать задачи на равноускоренные движения с постоянными ускорениями. Но они являются лишь простым частным случаем произвольных движений.
Очень часто встречаются задачи, которые следует формулировать в дифференциальной форме. Выясняется, что какие-то переменные изменяются пропорционально. Особенно это касается движения твердых тел, где изменение импульса может быть просто пропорционально изменению момента количества движения. И разгадка проста. И там и там присутствуют те же силы, а плечо при приложения силы постоянно. Такие задачи решаются на раз с помощью прямого интегрирования. А еще часто бывает, что соблюдатся закон сохранения момента количества движения вокруг какой-то определенной оси. И это тоже является следствием пропорциональностр сил и моментов.

[atlakatl]

oleg_2
У Вас две задачи рассмотрены. Во второй задаче размер колёс в ответ не вошёл.
Устремим радиусы колёс к нулю. В пределе получается задача №1.
Почему же ответы разные?

[oleg_2]

atlakatl в сообщении #1258490 писал(а):

Во второй задаче размер колёс в ответ не вошёл.
Устремим радиусы колёс к нулю. В пределе получается задача №1.

Качественно отвечу так.
Во-первых, Ваше утверждение "В пределе получается задача №1" ничем не обосновано.
Во-вторых, видите на рисунке силу трения $F_c$? Каким бы малым ни было колесо, а крутить его надо. Значит сила трения никуда не девается, иначе маленькое колесо не крутилось бы, а скользило по столу, а в задаче-1 силы трения нет.

Вот вывод моего решения в сжатом виде (а то там больно сильно размазано), символом $\to$ обозначаю пропорциональность:
$J = Mr^2/2 \to r^2$
$\dot \omega = a/r \to 1/r$
Момент сил для раскрутки колеса:
$\mu = J \dot \omega \to r^2 \cdot 1/r = r$
Сила трения:
$F_c = \mu/r \to r/r = \operatorname{const}$

-- 24.10.2017, 09:30 --

fred1996
Прочитал Ваше сообщение, спасибо.

[pogulyat_vyshel]

fred1996 в сообщении #1258289 писал(а):

То что проскальзывания между подошвами и платформой нет, не принципиально

еще как принципиально

[EUgeneUS]

pogulyat_vyshel в сообщении #1258513 писал(а):

еще как принципиально

Проскальзывают подошвы или нет - отношение смещений будет таким же.

[atlakatl]

oleg_2 в сообщении #1258500 писал(а):

Во-первых, Ваше утверждение "В пределе получается задача №1" ничем не обосновано.

Я считаю это тривиальным.
Обоснование: в зад.№1 человек у Вас кубиком обозначен. На самом деле он шагает - нужно ему трение.
Смотрим под платформу. Колёса это электронные орбиты атомов основания. Мы их не видим, хоть их и очень много.
Чем же очень маленькие колёса принципиально отличаются от скольжения без трения? Физика не математика, скачков на графиков не любит.
Вопрос не только автору задач №№1, 2.

[EUgeneUS]

atlakatl

atlakatl в сообщении #1258524 писал(а):

Чем же очень маленькие колёса принципиально отличаются от скольжения без трения?

Хотя бы тем, что сила трения качения обратно пропорциональная радиусу колеса. А значит для очень маленьких колес она будет очень большой.

Но дело даже не в этом. Коэффициент, который стоит у $M$ унаследован от момента инерции, а момент инерции состоит из следующих множителей:
1. Массы, она вошла в ответ.
2. $r^2$, он сократился
3. Безразмерного коэффициента, зависящего от распределения массы по радиусу, и не зависящего от собственно массы и радиуса (размера). И он никуда не денется при стремлении радиуса к нулю.

Грубо говоря, устремить к нулю радиус окружности и радиус круга - это две большие разницы.

[atlakatl]

EUgeneUS в сообщении #1258536 писал(а):

Грубо говоря, устремить к нулю радиус окружности и радиус круга - это две большие разницы.

Значит, всё-таки скачок? Было-было колёсико - с 3М в формуле - а потом резко - просто М.
Интересно бы найти этот рубеж. Имя я ему придумаю.

-- 24.10.2017, 16:15 --

Уточню свои сомнения. В задаче №1 oleg_2 просто закон сохранения импульса.
У нас и в задаче №2 - колёса. И ответ другой.
Как их совместить? Как ОТО и квантмех.

[fred1996]

pogulyat_vyshel в сообщении #1258513 писал(а):

fred1996 в сообщении #1258289 писал(а):

То что проскальзывания между подошвами и платформой нет, не принципиально

еще как принципиально

Все, что нам нужно от этого трения подошв о платформу, это третий закон Ньютона