Однородные уравнения,дифф уравнения

potap · 10/06/08 7

Здравствуйте, у меня завтра экзамен,а я до сих пор не знаю как решать некоторые задания. Задумки есть, а конечного решения нет. Очень рассчитываю на Вашу помощь.
$x``` - 2x`` + 4x` - 8x = 3 - 2e^{2t} - \sin 2t$
Просят найти решение однородного уравнения и указать вид частного решения.
Запишем характеристическое уравнение
$\begin{gathered} n^3 - 2n^2 + 4n - 8 = 0 \hfill \\ n^2 (n - 2) + 4(n - 2) = 0 \hfill \\ \end{gathered}$
Раз максимальная степень-тройка,то корней должно получиться три штуки.
У меня получается,что:
$\begin{gathered} n = 2 \hfill \\ n = \pm 2i \hfill \\ \end{gathered}$
мы знаем,что
$y = \mathop y\limits^\_ + y_$
т.о.
$\begin{gathered} \mathop y\limits^\_ = C_1 e^{2x} + C_2 \cos 2x + C_3 \sin 2x \hfill \\ y_ = A + Be^{2x} + C\cos 2x + D\sin 2x \hfill \\ \end{gathered}$
вид,это будет уравнение - игрек со штрихом.А насчет решения уравнения,т.е. первой части задания я дальше не знаю. или это просто записать
$y = \mathop y\limits^\_ + y_$
подставив,выше указанное мною?

И еще задача
$\begin{gathered} \phi `` - 25\phi = 0 \hfill \\ \phi (0) = 21,\phi `(0) = - 5 \hfill \\ \phi (t) - ? \hfill \\ \end{gathered}$
итегрируем
$\begin{gathered} \phi ` = \int {25\phi d\phi } \hfill \\ \phi ` = \frac{{25\phi ^2 }} {2} + C_1 \hfill \\ \end{gathered}$
по нач. условиям
$- 5 = 0 + C_1$
итегрируем дальше
$\begin{gathered} \phi = \int {(\frac{{25\phi ^2 }} {2} + C_1 )} d\phi \hfill \\ \phi = \frac{{25\phi ^3 }} {{2*3}} + C_1 \phi + C_2 \hfill \\ 21 = 0 + 0 + C_2 \hfill \\ C_2 = 21 \hfill \\ \end{gathered}$
записываем конечный результат
$y = \frac{{25\phi ^3 }} {{2*3}} - 5\phi + 21$

Скажите где я не прав,что не так сделал. Спасибо.

Бодигрим · 22/11/06 1096 Одесса, ОНУ ИМЭМ

Как вы нашли частное решение в первом примере? Во-первых, не забывайте про "резонанс", во-вторых, установите значения неопределенных коэффициентов.

Добавлено спустя 1 минуту 33 секунды:

Цитата:

вид,это будет уравнение - игрек со штрихом.

Расшифруйте.

Добавлено спустя 2 минуты 14 секунд:

Re: Однородные уравнения,дифф уравнения

potap писал(а):

И еще задача
$\begin{gathered} \phi `` - 25\phi = 0 \hfill \\ \phi (0) = 21,\phi `(0) = - 5 \hfill \\ \phi (t) - ? \hfill \\ \end{gathered}$
...
записываем конечный результат
$y = \frac{{25\phi ^3 }} {{2*3}} - 5\phi + 21$

Стоп. В исходном ДУ требовалось найти функцию $\phi(t)$ , где $t$ - независимая переменная. У вас же почему-то фигурирует $\phi$ как переменная и из ниоткуда возникает никому не нужная $y(\phi)$ . Что вы делаете и зачем?

potap · 10/06/08 7

$y_ = A + Be^{2x} + C\cos 2x + D\sin 2x$
Это мое частное решение.Извините за серость,но я не знаю что такое резонанс

Значения неопределенных коэффициентов -это A B C D в частном решении? Просто я бы хотел узнать насколько правильный, пока что, ход решения,а уже потом брать производные по частному решению,для нахождения коэффициентов.

Narn · 28/05/08 284 Трантор

Во второй задаче неизвестная функция - $\phi$ , а не невесть откуда взявшийся в самом конце $y$ . Какая вам, в сущности, разница, какой буквой обозначены неизвестные? Ведь это уравнение гораздо проще первого (однородное, хар. уравнение решить - и все). А у вас в решении после слова интегрируем уже все неправильно (так как интегрировать надо по переменной $t$ ).

ИСН · 18/05/06 13438 с Территории

Резонанс - это когда корень хар.уравнения совпадает с показателем, уже представленным в правой части. В таких случаях в решении появляются неприятные личности типа $x\cdot e^{2x}$ ...

potap · 10/06/08 7

Цитата:

Цитата:
вид,это будет уравнение - игрек со штрихом.

Расшифруйте.

Я думаю
$y_ = A + Be^{2x} + C\cos 2x + D\sin 2x$
будет уравнением вида.

Цитата:

Стоп. В исходном ДУ требовалось найти функцию $\phi(t)$ , где $t$ - независимая переменная. У вас же почему-то фигурирует $\phi$ как переменная и из ниоткуда возникает никому не нужная $y(\phi)$ . Что вы делаете и зачем?

Цитата:

Во второй задаче неизвестная функция - $\phi$ , а не невесть откуда взявшийся в самом конце $y$ . Какая вам, в сущности, разница, какой буквой обозначены неизвестные? Ведь это уравнение гораздо проще первого (однородное, хар. уравнение решить - и все). А у вас в решении после слова интегрируем уже все неправильно (так как интегрировать надо по переменной $t$ ).

А как тогда быть во втором?Вроде как надо 2 раза проинтегрировать, найти С,применив начальныеусловия. И записать искомое "фи". Я не могу понять как быть с t.Представить
$\phi ``$
как
$\phi \frac{{d\phi }} {{dt}}$
не знаю

Добавлено спустя 2 минуты 20 секунд:

Цитата:

Резонанс - это когда корень хар.уравнения совпадает с показателем, уже представленным в правой части. В таких случаях в решении появляются неприятные личности типа $x\cdot e^{2x}$ ...

Вот бывают уравнения с особенностями и без особенностей,скажем так. И на это влияет равны ли корни характеристического уравнения между собой. Я слышал только об этом.

Бодигрим · 22/11/06 1096 Одесса, ОНУ ИМЭМ

Цитата:

уравнением вида

Что такое "уравнение вида"? Это такой термин?

Цитата:

А как тогда быть во втором?Вроде как надо 2 раза проинтегрировать, найти С,применив начальныеусловия.

Нет, конечно. Надо как и в первом задании составить хар. уравнение, найти его корни и далее по схеме.

Цитата:

Я слышал только об этом.

Ну, теперь услышали и про резонанс. Почитайте Филиппова, например, там доходчиво разъясняется что при этом происходит и как с этим бороться.

potap · 10/06/08 7

Бодигрим, посмотрите пожалуйста как я переделал 2ое по вашей схеме. Вроде получилось очень даже ничего.Спасибо за наводку

$\begin{gathered} \phi `` - 25\phi = 0 \hfill \\ n^2 - 25 = 0 \hfill \\ n^2 = 25 \hfill \\ n = \pm 5 \hfill \\ \mathop y\limits^\_ = C_1 e^{5x} + C_2 e^{ - 5x} \hfill \\ y` = C_1 e^{5x} - 5C_2 e^{ - 5x} \hfill \\ - 5 = C_1 + C_2 \hfill \\ 21 = C_1 - 5C_2 \hfill \\ C_2 = \frac{{13}} {2} \hfill \\ C_1 = \frac{{23}} {2} \hfill \\ y = \frac{{23}} {2}e^{5x} + \frac{{13}} {2}e^{ - 5x} \hfill \\ \end{gathered}$

А насчет первого..
1) Записываем характеристическое уравнение.
2) Находим его корни. Положим они 2,+-2i. Согласно ээ Резонансу,если у нас в показателях,в правой части будут коэффициенты схожие с корнями хар. урав.,то мы используем схему записи частного уравнения, с "особенностями",т.е.
$x^s *Q(x)*e^{ax}$
для
$2e^{2t}$
3) записываем

$y = \mathop y\limits^\_ + y$
4)вид частного решения
$y_ = A + B*x*e^{2x} + C\cos 2x + D\sin 2x$
5)и $\mathop y\limits^\_$
$\mathop y\limits^\_ = C_1 e^{2x} + C_2 \cos 2x + C_3 \sin 2x$

А что делать теперь,чтобы найти решение? Думаю надо найти abcd а как в этом случае их найти?

GAA · 12/07/07 4522

В первом задании вид частного решения неоднородного уравнения найден неправильно.

potap · 10/06/08 7

GAA, подскажите пожалуйста, а как будет правильно?Я сколько не пытаюсь, прихожу к такому решению.

ИСН · 18/05/06 13438 с Территории

Там, видите ли, от резонанса пострадал не только этот корень.

GAA · 12/07/07 4522

Думаю вот эта часть — $C\cos 2x + D\sin 2x$ — частного решения записана неправильно. Посмотрите в учебнике как правильно, я не подскажу — не хочу вводить в заблуждение Вашего преподавателя.