2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу 1, 2  След.
 
 Однородные уравнения,дифф уравнения
Сообщение10.06.2008, 14:30 
Здравствуйте, у меня завтра экзамен,а я до сих пор не знаю как решать некоторые задания. Задумки есть, а конечного решения нет. Очень рассчитываю на Вашу помощь.
\[
x``` - 2x`` + 4x` - 8x = 3 - 2e^{2t}  - \sin 2t
\]
Просят найти решение однородного уравнения и указать вид частного решения.
Запишем характеристическое уравнение
\[
\begin{gathered}
  n^3  - 2n^2  + 4n - 8 = 0 \hfill \\
  n^2 (n - 2) + 4(n - 2) = 0 \hfill \\ 
\end{gathered} 
\]
Раз максимальная степень-тройка,то корней должно получиться три штуки.
У меня получается,что:
\[
\begin{gathered}
  n = 2 \hfill \\
  n =  \pm 2i \hfill \\ 
\end{gathered} 
\]
мы знаем,что
\[
y = \mathop y\limits^\_  + y_ 
\]
т.о.
\[
\begin{gathered}
  \mathop y\limits^\_  = C_1 e^{2x}  + C_2 \cos 2x + C_3 \sin 2x \hfill \\
  y_  = A + Be^{2x}  + C\cos 2x + D\sin 2x \hfill \\ 
\end{gathered} 
\]
вид,это будет уравнение - игрек со штрихом.А насчет решения уравнения,т.е. первой части задания я дальше не знаю. или это просто записать
\[
y = \mathop y\limits^\_  + y_ 
\]
подставив,выше указанное мною?

И еще задача
\[
\begin{gathered}
  \phi `` - 25\phi  = 0 \hfill \\
  \phi (0) = 21,\phi `(0) =  - 5 \hfill \\
  \phi (t) - ? \hfill \\ 
\end{gathered} 
\]
итегрируем
\[
\begin{gathered}
  \phi ` = \int {25\phi d\phi }  \hfill \\
  \phi ` = \frac{{25\phi ^2 }}
{2} + C_1  \hfill \\ 
\end{gathered} 
\]
по нач. условиям
\[
 - 5 = 0 + C_1 
\]
итегрируем дальше
\[
\begin{gathered}
  \phi  = \int {(\frac{{25\phi ^2 }}
{2} + C_1 )} d\phi  \hfill \\
  \phi  = \frac{{25\phi ^3 }}
{{2*3}} + C_1 \phi  + C_2  \hfill \\
  21 = 0 + 0 + C_2  \hfill \\
  C_2  = 21 \hfill \\ 
\end{gathered} 
\]
записываем конечный результат
\[
y = \frac{{25\phi ^3 }}
{{2*3}} - 5\phi  + 21
\]

Скажите где я не прав,что не так сделал. Спасибо.

 
 
 
 
Сообщение10.06.2008, 14:46 
Аватара пользователя
Как вы нашли частное решение в первом примере? Во-первых, не забывайте про "резонанс", во-вторых, установите значения неопределенных коэффициентов.

Добавлено спустя 1 минуту 33 секунды:

Цитата:
вид,это будет уравнение - игрек со штрихом.

Расшифруйте.

Добавлено спустя 2 минуты 14 секунд:

Re: Однородные уравнения,дифф уравнения

potap писал(а):
И еще задача
\[
\begin{gathered}
  \phi `` - 25\phi  = 0 \hfill \\
  \phi (0) = 21,\phi `(0) =  - 5 \hfill \\
  \phi (t) - ? \hfill \\ 
\end{gathered} 
\]
...
записываем конечный результат
\[
y = \frac{{25\phi ^3 }}
{{2*3}} - 5\phi  + 21
\]

Стоп. В исходном ДУ требовалось найти функцию $\phi(t)$, где $t$ - независимая переменная. У вас же почему-то фигурирует $\phi$ как переменная и из ниоткуда возникает никому не нужная $y(\phi)$. Что вы делаете и зачем?

 
 
 
 
Сообщение10.06.2008, 14:47 
\[
y_  = A + Be^{2x}  + C\cos 2x + D\sin 2x
\]
Это мое частное решение.Извините за серость,но я не знаю что такое резонанс :(
Значения неопределенных коэффициентов -это A B C D в частном решении? Просто я бы хотел узнать насколько правильный, пока что, ход решения,а уже потом брать производные по частному решению,для нахождения коэффициентов.

 
 
 
 
Сообщение10.06.2008, 14:50 
Во второй задаче неизвестная функция - $\phi$, а не невесть откуда взявшийся в самом конце $y$. Какая вам, в сущности, разница, какой буквой обозначены неизвестные? Ведь это уравнение гораздо проще первого (однородное, хар. уравнение решить - и все). А у вас в решении после слова интегрируем уже все неправильно (так как интегрировать надо по переменной $t$).

 
 
 
 
Сообщение10.06.2008, 14:57 
Аватара пользователя
Резонанс - это когда корень хар.уравнения совпадает с показателем, уже представленным в правой части. В таких случаях в решении появляются неприятные личности типа $x\cdot e^{2x}$...

 
 
 
 
Сообщение10.06.2008, 15:05 
Цитата:
Цитата:
вид,это будет уравнение - игрек со штрихом.

Расшифруйте.

Я думаю
\[
y_  = A + Be^{2x}  + C\cos 2x + D\sin 2x
\]
будет уравнением вида.

Цитата:
Стоп. В исходном ДУ требовалось найти функцию $\phi(t)$, где $t$ - независимая переменная. У вас же почему-то фигурирует $\phi$ как переменная и из ниоткуда возникает никому не нужная $y(\phi)$. Что вы делаете и зачем?

Цитата:
Во второй задаче неизвестная функция - $\phi$, а не невесть откуда взявшийся в самом конце $y$. Какая вам, в сущности, разница, какой буквой обозначены неизвестные? Ведь это уравнение гораздо проще первого (однородное, хар. уравнение решить - и все). А у вас в решении после слова интегрируем уже все неправильно (так как интегрировать надо по переменной $t$).


А как тогда быть во втором?Вроде как надо 2 раза проинтегрировать, найти С,применив начальныеусловия. И записать искомое "фи". Я не могу понять как быть с t.Представить
\[
\phi ``
\]
как
\[
\phi \frac{{d\phi }}
{{dt}}
\]
не знаю :(

Добавлено спустя 2 минуты 20 секунд:

Цитата:
Резонанс - это когда корень хар.уравнения совпадает с показателем, уже представленным в правой части. В таких случаях в решении появляются неприятные личности типа $x\cdot e^{2x}$...

Вот бывают уравнения с особенностями и без особенностей,скажем так. И на это влияет равны ли корни характеристического уравнения между собой. Я слышал только об этом.

 
 
 
 
Сообщение10.06.2008, 15:19 
Аватара пользователя
Цитата:
уравнением вида

Что такое "уравнение вида"? Это такой термин?
Цитата:
А как тогда быть во втором?Вроде как надо 2 раза проинтегрировать, найти С,применив начальныеусловия.

Нет, конечно. Надо как и в первом задании составить хар. уравнение, найти его корни и далее по схеме.
Цитата:
Я слышал только об этом.

Ну, теперь услышали и про резонанс. Почитайте Филиппова, например, там доходчиво разъясняется что при этом происходит и как с этим бороться.

 
 
 
 
Сообщение10.06.2008, 15:46 
Бодигрим, посмотрите пожалуйста как я переделал 2ое по вашей схеме. Вроде получилось очень даже ничего.Спасибо за наводку :)

\[
\begin{gathered}
  \phi `` - 25\phi  = 0 \hfill \\
  n^2  - 25 = 0 \hfill \\
  n^2  = 25 \hfill \\
  n =  \pm 5 \hfill \\
  \mathop y\limits^\_  = C_1 e^{5x}  + C_2 e^{ - 5x}  \hfill \\
  y` = C_1 e^{5x}  - 5C_2 e^{ - 5x}  \hfill \\
   - 5 = C_1  + C_2  \hfill \\
  21 = C_1  - 5C_2  \hfill \\
  C_2  = \frac{{13}}
{2} \hfill \\
  C_1  = \frac{{23}}
{2} \hfill \\
  y = \frac{{23}}
{2}e^{5x}  + \frac{{13}}
{2}e^{ - 5x}  \hfill \\ 
\end{gathered} 
\]

А насчет первого..
1) Записываем характеристическое уравнение.
2) Находим его корни. Положим они 2,+-2i. Согласно ээ Резонансу,если у нас в показателях,в правой части будут коэффициенты схожие с корнями хар. урав.,то мы используем схему записи частного уравнения, с "особенностями",т.е.
\[
x^s *Q(x)*e^{ax} 
\]
для
\[
2e^{2t} 
\]
3) записываем

\[
y = \mathop y\limits^\_  + y
\]
4)вид частного решения
\[
y_  = A + B*x*e^{2x}  + C\cos 2x + D\sin 2x
\]
5)и \[
\mathop y\limits^\_ 
\]
\[
\mathop y\limits^\_  = C_1 e^{2x}  + C_2 \cos 2x + C_3 \sin 2x
\]

А что делать теперь,чтобы найти решение? Думаю надо найти abcd а как в этом случае их найти?

 
 
 
 
Сообщение10.06.2008, 16:11 
В первом задании вид частного решения неоднородного уравнения найден неправильно.

 
 
 
 
Сообщение10.06.2008, 16:14 
GAA, подскажите пожалуйста, а как будет правильно?Я сколько не пытаюсь, прихожу к такому решению.

 
 
 
 
Сообщение10.06.2008, 16:32 
Аватара пользователя
Там, видите ли, от резонанса пострадал не только этот корень.

 
 
 
 
Сообщение10.06.2008, 16:36 
Думаю вот эта часть — $C\cos 2x + D\sin 2x$ — частного решения записана неправильно. Посмотрите в учебнике как правильно, я не подскажу — не хочу вводить в заблуждение Вашего преподавателя.

 
 
 
 
Сообщение10.06.2008, 16:43 
Цитата:
Там, видите ли, от резонанса пострадал не только этот корень.

\[
xA + Bxe^{2t}  + x(C\cos 2x + D\sin 2x)
\]
мм.. тогда получается так?

 
 
 
 
Сообщение10.06.2008, 17:04 
Аватара пользователя
А корня, равного $0$, у характеристического уравнения нет. Поэтому $A$ умножать на $x$ не надо.

 
 
 
 
Сообщение10.06.2008, 17:06 
Аватара пользователя
Кроме того, возникновение члена $xe^{2x}$ не отменяет члена $e^{2x}$.

 
 
 [ Сообщений: 18 ]  На страницу 1, 2  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group