Однородные уравнения,дифф уравнения

[potap]

Здравствуйте, у меня завтра экзамен,а я до сих пор не знаю как решать некоторые задания. Задумки есть, а конечного решения нет. Очень рассчитываю на Вашу помощь.

\[ x``` - 2x`` + 4x` - 8x = 3 - 2e^{2t} - \sin 2t \]

Просят найти решение однородного уравнения и указать вид частного решения.
Запишем характеристическое уравнение

\[ \begin{gathered} n^3 - 2n^2 + 4n - 8 = 0 \hfill \\ n^2 (n - 2) + 4(n - 2) = 0 \hfill \\ \end{gathered} \]

Раз максимальная степень-тройка,то корней должно получиться три штуки.
У меня получается,что:

\[ \begin{gathered} n = 2 \hfill \\ n = \pm 2i \hfill \\ \end{gathered} \]

мы знаем,что

\[ y = \mathop y\limits^\_ + y_ \]

т.о.

\[ \begin{gathered} \mathop y\limits^\_ = C_1 e^{2x} + C_2 \cos 2x + C_3 \sin 2x \hfill \\ y_ = A + Be^{2x} + C\cos 2x + D\sin 2x \hfill \\ \end{gathered} \]

вид,это будет уравнение - игрек со штрихом.А насчет решения уравнения,т.е. первой части задания я дальше не знаю. или это просто записать

\[ y = \mathop y\limits^\_ + y_ \]

подставив,выше указанное мною?

И еще задача

\[ \begin{gathered} \phi `` - 25\phi = 0 \hfill \\ \phi (0) = 21,\phi `(0) = - 5 \hfill \\ \phi (t) - ? \hfill \\ \end{gathered} \]

итегрируем

\[ \begin{gathered} \phi ` = \int {25\phi d\phi } \hfill \\ \phi ` = \frac{{25\phi ^2 }} {2} + C_1 \hfill \\ \end{gathered} \]

по нач. условиям

\[ - 5 = 0 + C_1 \]

итегрируем дальше

\[ \begin{gathered} \phi = \int {(\frac{{25\phi ^2 }} {2} + C_1 )} d\phi \hfill \\ \phi = \frac{{25\phi ^3 }} {{2*3}} + C_1 \phi + C_2 \hfill \\ 21 = 0 + 0 + C_2 \hfill \\ C_2 = 21 \hfill \\ \end{gathered} \]

записываем конечный результат

\[ y = \frac{{25\phi ^3 }} {{2*3}} - 5\phi + 21 \]

Скажите где я не прав,что не так сделал. Спасибо.

[Бодигрим]

Как вы нашли частное решение в первом примере? Во-первых, не забывайте про "резонанс", во-вторых, установите значения неопределенных коэффициентов.

Добавлено спустя 1 минуту 33 секунды:

Цитата:

вид,это будет уравнение - игрек со штрихом.

Расшифруйте.

Добавлено спустя 2 минуты 14 секунд:

Re: Однородные уравнения,дифф уравнения

potap писал(а):

И еще задача

\[ \begin{gathered} \phi `` - 25\phi = 0 \hfill \\ \phi (0) = 21,\phi `(0) = - 5 \hfill \\ \phi (t) - ? \hfill \\ \end{gathered} \]

...
записываем конечный результат

\[ y = \frac{{25\phi ^3 }} {{2*3}} - 5\phi + 21 \]

Стоп. В исходном ДУ требовалось найти функцию $\phi(t)$, где $t$ - независимая переменная. У вас же почему-то фигурирует $\phi$ как переменная и из ниоткуда возникает никому не нужная $y(\phi)$. Что вы делаете и зачем?

[potap]

\[ y_ = A + Be^{2x} + C\cos 2x + D\sin 2x \]

Это мое частное решение.Извините за серость,но я не знаю что такое резонанс
Значения неопределенных коэффициентов -это A B C D в частном решении? Просто я бы хотел узнать насколько правильный, пока что, ход решения,а уже потом брать производные по частному решению,для нахождения коэффициентов.

[Narn]

Во второй задаче неизвестная функция - $\phi$, а не невесть откуда взявшийся в самом конце $y$. Какая вам, в сущности, разница, какой буквой обозначены неизвестные? Ведь это уравнение гораздо проще первого (однородное, хар. уравнение решить - и все). А у вас в решении после слова интегрируем уже все неправильно (так как интегрировать надо по переменной $t$).

[ИСН]

Резонанс - это когда корень хар.уравнения совпадает с показателем, уже представленным в правой части. В таких случаях в решении появляются неприятные личности типа $x\cdot e^{2x}$...

[potap]

Цитата:

Цитата:
вид,это будет уравнение - игрек со штрихом.

Расшифруйте.

Я думаю

\[ y_ = A + Be^{2x} + C\cos 2x + D\sin 2x \]

будет уравнением вида.

Цитата:

Стоп. В исходном ДУ требовалось найти функцию $\phi(t)$, где $t$ - независимая переменная. У вас же почему-то фигурирует $\phi$ как переменная и из ниоткуда возникает никому не нужная $y(\phi)$. Что вы делаете и зачем?

Цитата:

Во второй задаче неизвестная функция - $\phi$, а не невесть откуда взявшийся в самом конце $y$. Какая вам, в сущности, разница, какой буквой обозначены неизвестные? Ведь это уравнение гораздо проще первого (однородное, хар. уравнение решить - и все). А у вас в решении после слова интегрируем уже все неправильно (так как интегрировать надо по переменной $t$).

А как тогда быть во втором?Вроде как надо 2 раза проинтегрировать, найти С,применив начальныеусловия. И записать искомое "фи". Я не могу понять как быть с t.Представить

\[ \phi `` \]

как

\[ \phi \frac{{d\phi }} {{dt}} \]

не знаю

Добавлено спустя 2 минуты 20 секунд:

Цитата:

Резонанс - это когда корень хар.уравнения совпадает с показателем, уже представленным в правой части. В таких случаях в решении появляются неприятные личности типа $x\cdot e^{2x}$...

Вот бывают уравнения с особенностями и без особенностей,скажем так. И на это влияет равны ли корни характеристического уравнения между собой. Я слышал только об этом.

[Бодигрим]

Цитата:

уравнением вида

Что такое "уравнение вида"? Это такой термин?

Цитата:

А как тогда быть во втором?Вроде как надо 2 раза проинтегрировать, найти С,применив начальныеусловия.

Нет, конечно. Надо как и в первом задании составить хар. уравнение, найти его корни и далее по схеме.

Цитата:

Я слышал только об этом.

Ну, теперь услышали и про резонанс. Почитайте Филиппова, например, там доходчиво разъясняется что при этом происходит и как с этим бороться.

[potap]

Бодигрим, посмотрите пожалуйста как я переделал 2ое по вашей схеме. Вроде получилось очень даже ничего.Спасибо за наводку

\[ \begin{gathered} \phi `` - 25\phi = 0 \hfill \\ n^2 - 25 = 0 \hfill \\ n^2 = 25 \hfill \\ n = \pm 5 \hfill \\ \mathop y\limits^\_ = C_1 e^{5x} + C_2 e^{ - 5x} \hfill \\ y` = C_1 e^{5x} - 5C_2 e^{ - 5x} \hfill \\ - 5 = C_1 + C_2 \hfill \\ 21 = C_1 - 5C_2 \hfill \\ C_2 = \frac{{13}} {2} \hfill \\ C_1 = \frac{{23}} {2} \hfill \\ y = \frac{{23}} {2}e^{5x} + \frac{{13}} {2}e^{ - 5x} \hfill \\ \end{gathered} \]

А насчет первого..
1) Записываем характеристическое уравнение.
2) Находим его корни. Положим они 2,+-2i. Согласно ээ Резонансу,если у нас в показателях,в правой части будут коэффициенты схожие с корнями хар. урав.,то мы используем схему записи частного уравнения, с "особенностями",т.е.

\[ x^s *Q(x)*e^{ax} \]

для

\[ 2e^{2t} \]

3) записываем

\[ y = \mathop y\limits^\_ + y \]

4)вид частного решения

\[ y_ = A + B*x*e^{2x} + C\cos 2x + D\sin 2x \]

5)и

\[ \mathop y\limits^\_ \]

\[ \mathop y\limits^\_ = C_1 e^{2x} + C_2 \cos 2x + C_3 \sin 2x \]

А что делать теперь,чтобы найти решение? Думаю надо найти abcd а как в этом случае их найти?

[GAA]

В первом задании вид частного решения неоднородного уравнения найден неправильно.

[potap]

GAA, подскажите пожалуйста, а как будет правильно?Я сколько не пытаюсь, прихожу к такому решению.

[ИСН]

Там, видите ли, от резонанса пострадал не только этот корень.

[GAA]

Думаю вот эта часть — $C\cos 2x + D\sin 2x$ — частного решения записана неправильно. Посмотрите в учебнике как правильно, я не подскажу — не хочу вводить в заблуждение Вашего преподавателя.

[potap]

Цитата:

Там, видите ли, от резонанса пострадал не только этот корень.

\[ xA + Bxe^{2t} + x(C\cos 2x + D\sin 2x) \]

мм.. тогда получается так?

[Someone]

А корня, равного $0$, у характеристического уравнения нет. Поэтому $A$ умножать на $x$ не надо.

[ИСН]

Кроме того, возникновение члена $xe^{2x}$ не отменяет члена $e^{2x}$.