Абсолютно упругий неупругий удар

[fred1996]

Пока обсуждали удары в соседнем разделе, пришла в голову такая задача. Поскольку пока понятия не имею как ее решать помещу здесь. По-моему она весьма дискуссионная.
Итак у нас на абсолютно твердую поверхность падает тело из абсолютно эластичного материала с известным модулем Юнга $E$ и плотностью $\rho$.
Пусть тело имеет цилиндрическую симметрию. То есть боковая поверхность в цилиндрических координатах описывается функцией, не зависящей от угла $z=f(r)$
Мы ставим это телона нашу поверхность и отпускаем так, что оно начинает деформироваться под действием собственной тяжести. Найти форму кривой, при уоторой тело, достигнув нижнего положения, там и останется. То есть вся потенциальная хнергия перейдет в энергию сжатия тела. Для простоты можно считать модуль юнга достаточно большим. Так что деформацией тела можно пренебречь относительно подсчета ЦТ тела.
Интересны любые соображения на тему. Интересны так-же случаи, когда тело падает с какой то реальной высоты $h$. Тогда у нас возникает реальный удар, а не плавное динамическое вмнание тела в стол.

[realeugene]

Вроде обычный дифур. Сжатие пропорционально давлению. Давление пропорционально массе над горизонтальным сечением. Изменением площади пренебрегаем (не обязательно). Интегрируем, получаем зависимость высоты от исходной длины вдоль тела.

[fred1996]

Как у вас все просто. Прям как с платформой на колесах. :).
Пока первая коструктивная идея такая, что если просто положить бережно такое тело с известной формой, то можно сосчитать во что оно деформируется. И это будет нашим конечным положением. Но к этому положению оно должно придти в результате динамического проседания. То есть в любой момент времени мы можем сосчитать полную деформацию тела, как функцию опоры, которая во времени меняется от нуля до полного веса тела. То есть как бы статически задача решается для любой реакции опоры. Теперь эти статические решения надо как-то привязать к динамике процесса. Чтобы при конечной реакции тело как раз остановилось.

[Lemur]

Не знаю как описать свои представления на языке математики, но логично будет предположить, что абсолютно эластичное тело превратиться в оболочку, которая равномерным слоем будет покрывать абсолютно упругое тело.

[Red_Herring]

Прежде всего отмечу, что в однородной и изотропной упругости имеется не один, а два "модуля Юнга" Параметры Ламе

Ну а дальше стандартная гиперболическая задача задача с неопределенной границей (причем часть границы, это поверхность контакта, а другая--свободная, несколько тоже деформировавшаяся в результате падения на нее упругих волн).

В общем, даже в линеаризованном варианте весьма сложная задача, для специалистов.

Из специалистов по МСС здесь на форуме sup, но вроде давно не появлялся.

[sup]

Сказать откровенно, то я не специалист по МСС. Но в любом случае все это выглядит достаточно подозрительно. Должны возникнуть колебания.
Без диссипации уравнения движения должны быть обратимы. А если диссипация есть, то это будет бесконечный процесс проседания (экспоненциальное?).
Прямо вот за конечное время процесс остановится ... Выглядит странно.
Вот если опора не абсолютно твердое тело, то тогда в ней могут возникнуть волны, которые унесут энергию. Можно на одномерном волновом уравнении попробовать чего-нибудь смоделировать. Вдруг принцип Гюйгенса для нечетных размерностей сработает.