Три числа вместо звёздочек : Олимпиадные задачи (М) fixfix
2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Три числа вместо звёздочек
Сообщение20.10.2017, 09:52 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
Можно ли найти три таких числа (не обязательно целых), что, если подставить их вместо звёздочек в уравнение $$*x^2 + *x + * = 0$$ (в любом порядке), то оно обязательно будет иметь два различных рациональных корня?

 Профиль  
                  
 
 Re: Три числа вместо звёздочек
Сообщение20.10.2017, 09:59 
Аватара пользователя


11/01/13
292
$(0, 0, 0)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Три числа вместо звёздочек
Сообщение20.10.2017, 10:02 


21/05/16
4292
Аделаида
Решение немного обобщеной задачи:
topic112496.html

 Профиль  
                  
 
 Re: Три числа вместо звёздочек
Сообщение20.10.2017, 20:12 


26/08/11
2117
$(m,n,-m-n),\;m,n\in\mathbb{Q}$

например

 Профиль  
                  
 
 Re: Три числа вместо звёздочек
Сообщение21.10.2017, 02:32 


21/05/16
4292
Аделаида
Три числа, а не четыре.

 Профиль  
                  
 
 Re: Три числа вместо звёздочек
Сообщение21.10.2017, 08:47 


26/08/11
2117
kotenok gav, $-m-n$ - это одно число, число $-(m+n)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Три числа вместо звёздочек
Сообщение21.10.2017, 09:16 


21/05/16
4292
Аделаида
Хорошо, а конкретные m, n и корни вы можете привести? А то вот ссылка: topic112496.html

 Профиль  
                  
 
 Re: Три числа вместо звёздочек
Сообщение21.10.2017, 09:57 


26/08/11
2117
kotenok gav в сообщении #1257491 писал(а):
Хорошо, а конкретные m, n и корни вы можете привести?
Да любые

$(1,2,-3);(2,5,-7);(11,13,-24)...$

А по ссылке задача другая - там доказывается, что не существуют три положительные числа.
А тут такого условия (все положительные) нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Три числа вместо звёздочек
Сообщение21.10.2017, 10:09 


21/05/16
4292
Аделаида
С отрицательными тоже самое.
А, нет, я понял! Мы не имеем права перемножать неравенства для дискриминанта!

 Профиль  
                  
 
 Re: Три числа вместо звёздочек
Сообщение23.10.2017, 13:30 


26/08/11
2117
Конечно, если сумма коэффициентов квадратного трехчлена равна нулю, то у него будет корень 1. (независимо от порядка)
Так что вышеуказанные решения можно отнести к тривиальным. Хотелось найти нетривиальные. Получилась у меня страшновато.

$-3(3u^{14}+51u^{13}+274u^{12}+409u^{11}-588u^{10}-2610u^9-2910u^8+2910u^6+2610u^5+588u^4-409u^3-274u^2-51u-3)$

$u(u^{13}-48u^{12}+384u^{11}+4199u^{10}+16164u^9+35298u^8+49038u^7+44028u^6+23994u^5+5963u^4-843u^3-870u^2-152u-9)$

$9u^{13}+152u^{12}+870u^{11}+843u^{10}-5963u^9-23994u^8-44028u^7-49038u^6-35298u^5-16164u^4-4199u^3-384u^2+48u-1$

От рационального параметра $u$

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 10 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: Shadow


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group