Значит данная теорема и ее доказательство все таки вероятностные!
Теорему можно сформулировать на языке теории вероятностей. Доказательство её использует результат из теории вероятностей (теорему Леви о непрерывном соответствии между функциями распределения и характеристическими функциями случайных величин, или метод характеристических функций).
Любой начальный отрезок натурального ряда

можно естественным образом превратить в вероятностное пространство

, взяв

,

— все подмножества

,

. Тогда произвольную (вещественно- или даже комплекснозначную) функцию

натурального аргумента (а точнее, её ограничение на

) можно рассматривать как случайную величину

на этом вероятностном пространстве:

,

. В частности, можно говорить о мат. ожидании

и дисперсии

, а для вещественной

— о функции распределения

и характеристической функции

.
Таким образом, каждой арифметической функции

можно сопоставить последовательность случайных величин

(живущих на разных вероятностных пространствах). Если взять

(в статье рассуждения проводятся для

), то несложно, например, показать, что

, то есть

С дисперсией посложнее, но нетрудно доказать, что

. Применяя неравенство Чебышёва из теории вероятностей, отсюда легко получить теорему Харди–Рамануджана:

Чтобы изучать предельное распределение, удобно использовать стандартный трюк (как в центральной предельной теореме). Если с.в.

имеет нормальное распределение с мат. ожиданием

и дисперсией

, то случайная величина

имеет стандартное нормальное распределение (и наоборот). Поэтому вместо последовательности с.в.

удобно рассмотреть «отнормированную» последовательность с.в.

, то есть

(Вместо точных значений мат. ожидания и дисперсии используются приближения.) Полученная последовательность отличается от той, которая приведена в Википедии, но она лучше соответствует вероятностному смыслу теоремы (и в статье рассматривается именно она), а формулировку из Википедии можно получить из тех соображений, что

очень медленно меняется, так что

и

— это «почти одно и то же» для «почти всех»

.
Так вот, теорема Эрдёша–Каца утверждает, что последовательность

слабо сходится к стандартному нормальному распределению, то есть для любого

выполнено

Согласно теореме Леви, это равносильно (поточечной) сходимости для характеристических функций, то есть для произвольного

верно

Последнее предельное соотношение и доказывается в статье (вместе с оценкой скорости сходимости, откуда с помощью неравенства Эссеена получается скорость сходимости в теореме Эрдёша–Каца).
В предельных равенствах
![\[\begin{gathered}
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\left\lvert\left\{k\leqslant n:\frac{\omega(k)-\ln\ln n}{\sqrt{\ln\ln n}}\leqslant x\right\}\right\rvert=\Phi(x),\quad x\in\mathbb{R},\\
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\exp\left(\mathrm{i}t\frac{\omega(k)-\ln\ln n}{\sqrt{\ln\ln n}}\right)=\mathrm{e}^{-t^{2}/2},\quad t\in\mathbb{R},
\end{gathered}\] \[\begin{gathered}
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\left\lvert\left\{k\leqslant n:\frac{\omega(k)-\ln\ln n}{\sqrt{\ln\ln n}}\leqslant x\right\}\right\rvert=\Phi(x),\quad x\in\mathbb{R},\\
\lim_{n\to\infty}\frac{1}{n}\sum_{k=1}^{n}\exp\left(\mathrm{i}t\frac{\omega(k)-\ln\ln n}{\sqrt{\ln\ln n}}\right)=\mathrm{e}^{-t^{2}/2},\quad t\in\mathbb{R},
\end{gathered}\]](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/0/9/a099372d927b27447a10bf44421da6c282.png)
нет никаких вероятностей и случайных величин. Это просто утверждения о сходимости некоторых функциональных последовательностей (в первом случае сходимость равномерная на

, поскольку рассматриваются функции распределения и предельная функция непрерывна). Случайные величины упоминаются только для того, чтобы вывести первое равенство из второго. И никаких «доказательств с вероятностью 1» (что бы это ни значило) тут нет.