Немного возражу. Не произвольную числовую функцию, а только инъективную, чтобы не повторялись значения.
Произвольную. При чём здесь инъективность? Случайная величина может быть и постоянной: это же просто измеримая функция (а в нашем случае любая функция измерима).
А чем отличаются вероятностные пространства для

и

?
Для

нет никакого вероятностного пространства, это функция на

. (Писать

нехорошо, поскольку я считаю

фиксированным). Её можно ограничить на

— получится некоторая случайная величина на вероятностном пространстве

. Вот эту случайную величину я и обозначаю через

(нижний индекс это не аргумент случайной величины, а её номер). То есть

— это просто ограничение функции

на

:

,

.
Наверное…
Нет, у меня верно: я домножил обе части неравенства на

(вероятность — это количество элементов, поделённое на

).
Значит теорема Эрдёша–Каца о слабой сходимости с вероятностью меньше 1.
Нет, теорема Эрдёша–Каца о слабой сходимости (или сходимости по распределению) определённой последовательности случайных величин. Без всяких «с вероятностью…». То есть фактически на сами случайные величины мы плюём, а вместо них изучаем их функции распределения, которые являются обычными функциями из

в
![$[0,1]$ $[0,1]$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/c/f/acf5ce819219b95070be2dbeb8a671e982.png)
.
А вот для получения первого равенства из второго вводится случайная величина, которая имеет другое вероятностное пространство.
Какое другое вероятностное пространство? Ещё раз. Мы рассматриваем последовательность случайных величин

, каждая определена на своём вероятностном пространстве

(поскольку мы говорим о сходимости по распределению, то случайные величины не обязаны быть определены на одном и том же вероятностном пространстве):

Тогда функция распределения

— это

а характеристическая функция — это

Поскольку

— это функция распределения, а

— характеристическая функция для стандартного нормального распределения, то теорема Леви (метод характеристических функций) говорит:

Здесь никаких вероятностей уже фактически нет.