2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.
 
 
Сообщение09.06.2008, 20:21 
Аватара пользователя
так P же у нас замкнуто :?: Ну может быть и не уловил, с течением времени и математическим развитием уловлю:) Сейчас просто решаю задачу, вот если бы вы были преподавателем, Вы бы её зачли?

 
 
 
 
Сообщение09.06.2008, 20:33 
Echo-Off писал(а):
Spook писал(а):
а как решается задача через ряд Фурье?

Ежу понятно, что для каждого натурального $n$ $\cos{nx}$ и $\sin{nx}$ принадлежат $M$.

только всем же ежам понятно, что это глупо -- вводить ортогональный базис на подпространстве, дополнение к которому мало того что одномерно, так ещё и очевидно.

Пардон. Не удержался.

 
 
 
 
Сообщение09.06.2008, 20:35 
Аватара пользователя
ewert писал(а):
вводить ортогональный базис на подпространстве

Никто и не вводит базис на подпространстве. И да, кстати, я ошибся, я имел ввиду $\cos{2\pi nx}$ и $\sin{2\pi nx}$.

 
 
 
 
Сообщение09.06.2008, 20:47 
Spook писал(а):
так P же у нас замкнуто :?:
Ну просто сложность и тонкость формулировки должна указать на то, что утверждение не очевидно.

Добавлено спустя 1 минуту 31 секунду:

Spook писал(а):
Сейчас просто решаю задачу, вот если бы вы были преподавателем, Вы бы её зачли?
Смотря что было на лекциях. И еще вопрос - стал ли давать бы. :roll:

Но это мечты пока что далекие от действительности.

 
 
 
 
Сообщение09.06.2008, 21:02 
Аватара пользователя
AD понятно :)
Echo-Off
$\cos{2\pi nx}$ и $\sin{2\pi nx}$ принадлежат $M$ - да, это так. Кроме того мы можем так разложить и $y(t)$ и $x(t)y(t)$. Отсюда я не вижу, что $y(t)$ константы. Может еще подсказочку дадите?

 
 
 
 
Сообщение09.06.2008, 21:22 
Аватара пользователя
Spook писал(а):
AD понятно :)
Echo-Off
$\cos{2\pi nx}$ и $\sin{2\pi nx}$ принадлежат $M$ - да, это так.

Отсюда следует, что у любой функции из $M^{\bot}$ все коэффициенты Фурье равны нулю, за исключением самого первого: ведь коэффициент Фурье как раз и вычисляется как $(y(x),\,\cos{2\pi nx})$ или $(y(x),\,\sin2\pi nx})$ с точностью до домножения на константу

 
 
 
 
Сообщение09.06.2008, 21:45 
Аватара пользователя
Echo-Off да, теперь понятно. Всем спасибо за помощь!

 
 
 
 
Сообщение09.06.2008, 21:49 
Spook писал(а):
Echo-Off да, теперь понятно.
А вы умеете доказывать, что если все коэффициенты Фурье равны нулю, то и сама функция равна нулю? :wink:

 
 
 
 
Сообщение09.06.2008, 21:54 
Аватара пользователя
AD писал(а):
А вы умеете доказывать, что если все коэффициенты Фурье равны нулю, то и сама функция равна нулю?

Умею :D Или вопрос не ко мне?

 
 
 
 
Сообщение09.06.2008, 22:00 
Аватара пользователя
Боюсь сказать, что это очевидно, но получается сумма нулей, то есть ноль, хотя вы наверное сейчас это опровергните :)
Мой официальный ответ:
$c_k=(e_k,x)$ откуда следует, что x ортогонален всем $e_k$, то есть равен 0, в силу того, что новым $e_k$ он быть не может. Доказательство закончено.

Добавлено спустя 1 минуту 12 секунд:

Echo-Off да уж наверно не Вам :D

 
 
 
 
Сообщение09.06.2008, 22:07 
Spook писал(а):
Боюсь сказать, что это очевидно, но получается сумма нулей, то есть ноль, хотя вы наверное сейчас это опровергните
Что сумма нулей - ноль - это не опровергну. Но нужно некоторое понимание, почему и в каком смысле наша функция равна сумме своего ряда фурье. Да, ряд Фурье функции из $L_2$ сходится к ней почти всюду. Но доказательство этого факта вы уж точно не знаете (теорема Карлесона; по объему тянет на годовой спецкурс). Для непрерывных функций, насколько я слышал краем уха, доказательство проще не становится.

Spook писал(а):
Мой официальный ответ:
$c_k=(e_k,x)$ откуда следует, что x ортогонален всем $e_k$, то есть равен 0, в силу того, что новым $e_k$ он быть не может.
А вот это уже гораздо лучше. Только надо объяснить, почему не может быть новых $e_n$, то есть почему тригонометрическая система является полной. Обычно говорят, что эквивалентны некоторые пять свойств ортонормированных систем (т.н. "полнота", "замкнутость", разные варианты равенства Парсеваля, итп). Это тоже теорема такая. Но уже попроще.

 
 
 
 
Сообщение09.06.2008, 22:34 
Аватара пользователя
AD про Карлесона - да, первый раз слышу (и как Вы догадались??? :D ) Что касается сходимости, то я берусь доказать, что $||x-\sum\limits_{k=1}^{n}c_ke_k||<\epsilon$ если вы это имеете ввиду.
Теорема про эквивалентность свойств для меня тоже новая, ну а полноту тригонометрической системы доказал насколько я помню еще Вейерштрас.

Добавлено спустя 1 минуту 10 секунд:

Хотя может Вейерштрас доказал плотность тригонометрической системы...

 
 
 
 
Сообщение09.06.2008, 22:37 
Spook писал(а):
Что касается сходимости, то я берусь доказать, что $||x-\sum\limits_{k=1}^{n}c_ke_k||<\epsilon$
...
ну а полноту тригонометрической системы доказал насколько я помню еще Вейерштрас.
...
Хотя может Вейерштрас доказал плотность тригонометрической системы...
Spook писал(а):
Теорема про эквивалентность свойств для меня тоже новая
Вот эта теорема в частности и утверждает, что всё это одно и то же, и что всё это эквивалентно требуемому утверждению, что если ряд Фурье нулевой, то и функция нулевая.

 
 
 
 
Сообщение09.06.2008, 22:49 
Аватара пользователя
Да, жалко у нас не годовой курс, наверняка еще многого не было :(
А Вейерштрасс доказал плотность тригонометрических полиномов, что-то я сначала не то написал :oops:

 
 
 
 
Сообщение09.06.2008, 22:54 
Вейерштрасс доказал плотность в метрике $C[a,b]$. Причем ряд фурье совсем не обязан сходиться в $C[a,b]$. То есть там используются более хорошо сходящиеся последовательности тригонометрических полиномов. Вывод: да, это нам совсем не в кассу.

 
 
 [ Сообщений: 46 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.


Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group