ортогональное дополнение в L_2[0,1]

[Spook]

так P же у нас замкнуто Ну может быть и не уловил, с течением времени и математическим развитием уловлю:) Сейчас просто решаю задачу, вот если бы вы были преподавателем, Вы бы её зачли?

[ewert]

Echo-Off писал(а):

Spook писал(а):

а как решается задача через ряд Фурье?

Ежу понятно, что для каждого натурального $n$ $\cos{nx}$ и $\sin{nx}$ принадлежат $M$.

только всем же ежам понятно, что это глупо -- вводить ортогональный базис на подпространстве, дополнение к которому мало того что одномерно, так ещё и очевидно.

Пардон. Не удержался.

[Echo-Off]

ewert писал(а):

вводить ортогональный базис на подпространстве

Никто и не вводит базис на подпространстве. И да, кстати, я ошибся, я имел ввиду $\cos{2\pi nx}$ и $\sin{2\pi nx}$.

[AD]

Spook писал(а):

так P же у нас замкнуто

Ну просто сложность и тонкость формулировки должна указать на то, что утверждение не очевидно.

Добавлено спустя 1 минуту 31 секунду:

Spook писал(а):

Сейчас просто решаю задачу, вот если бы вы были преподавателем, Вы бы её зачли?

Смотря что было на лекциях. И еще вопрос - стал ли давать бы.

Но это мечты пока что далекие от действительности.

[Spook]

AD понятно
Echo-Off
$\cos{2\pi nx}$ и $\sin{2\pi nx}$ принадлежат $M$ - да, это так. Кроме того мы можем так разложить и $y(t)$ и $x(t)y(t)$. Отсюда я не вижу, что $y(t)$ константы. Может еще подсказочку дадите?

[Echo-Off]

Spook писал(а):

AD понятно
Echo-Off
$\cos{2\pi nx}$ и $\sin{2\pi nx}$ принадлежат $M$ - да, это так.

Отсюда следует, что у любой функции из $M^{\bot}$ все коэффициенты Фурье равны нулю, за исключением самого первого: ведь коэффициент Фурье как раз и вычисляется как $(y(x),\,\cos{2\pi nx})$ или $(y(x),\,\sin2\pi nx})$ с точностью до домножения на константу

[Spook]

Echo-Off да, теперь понятно. Всем спасибо за помощь!

[AD]

Spook писал(а):

Echo-Off да, теперь понятно.

А вы умеете доказывать, что если все коэффициенты Фурье равны нулю, то и сама функция равна нулю?

[Echo-Off]

AD писал(а):

А вы умеете доказывать, что если все коэффициенты Фурье равны нулю, то и сама функция равна нулю?

Умею Или вопрос не ко мне?

[Spook]

Боюсь сказать, что это очевидно, но получается сумма нулей, то есть ноль, хотя вы наверное сейчас это опровергните
Мой официальный ответ:
$c_k=(e_k,x)$ откуда следует, что x ортогонален всем $e_k$, то есть равен 0, в силу того, что новым $e_k$ он быть не может. Доказательство закончено.

Добавлено спустя 1 минуту 12 секунд:

Echo-Off да уж наверно не Вам

[AD]

Spook писал(а):

Боюсь сказать, что это очевидно, но получается сумма нулей, то есть ноль, хотя вы наверное сейчас это опровергните

Что сумма нулей - ноль - это не опровергну. Но нужно некоторое понимание, почему и в каком смысле наша функция равна сумме своего ряда фурье. Да, ряд Фурье функции из $L_2$ сходится к ней почти всюду. Но доказательство этого факта вы уж точно не знаете (теорема Карлесона; по объему тянет на годовой спецкурс). Для непрерывных функций, насколько я слышал краем уха, доказательство проще не становится.

Spook писал(а):

Мой официальный ответ:
$c_k=(e_k,x)$ откуда следует, что x ортогонален всем $e_k$, то есть равен 0, в силу того, что новым $e_k$ он быть не может.

А вот это уже гораздо лучше. Только надо объяснить, почему не может быть новых $e_n$, то есть почему тригонометрическая система является полной. Обычно говорят, что эквивалентны некоторые пять свойств ортонормированных систем (т.н. "полнота", "замкнутость", разные варианты равенства Парсеваля, итп). Это тоже теорема такая. Но уже попроще.

[Spook]

AD про Карлесона - да, первый раз слышу (и как Вы догадались??? ) Что касается сходимости, то я берусь доказать, что $||x-\sum\limits_{k=1}^{n}c_ke_k||<\epsilon$ если вы это имеете ввиду.
Теорема про эквивалентность свойств для меня тоже новая, ну а полноту тригонометрической системы доказал насколько я помню еще Вейерштрас.

Добавлено спустя 1 минуту 10 секунд:

Хотя может Вейерштрас доказал плотность тригонометрической системы...

[AD]

Spook писал(а):

Что касается сходимости, то я берусь доказать, что $||x-\sum\limits_{k=1}^{n}c_ke_k||<\epsilon$
...
ну а полноту тригонометрической системы доказал насколько я помню еще Вейерштрас.
...
Хотя может Вейерштрас доказал плотность тригонометрической системы...

Spook писал(а):

Теорема про эквивалентность свойств для меня тоже новая

Вот эта теорема в частности и утверждает, что всё это одно и то же, и что всё это эквивалентно требуемому утверждению, что если ряд Фурье нулевой, то и функция нулевая.

[Spook]

Да, жалко у нас не годовой курс, наверняка еще многого не было
А Вейерштрасс доказал плотность тригонометрических полиномов, что-то я сначала не то написал

[AD]

Вейерштрасс доказал плотность в метрике $C[a,b]$. Причем ряд фурье совсем не обязан сходиться в $C[a,b]$. То есть там используются более хорошо сходящиеся последовательности тригонометрических полиномов. Вывод: да, это нам совсем не в кассу.