непрерывная функция рациональных чисел

[beroal]

Ну, я не буду копировать \(\epsilon \)-\(\delta\)-определение непрерываной функции, вы все его знаете. Интересно, что оно имеет смысл, если функция имеет тип \(\mathbb{Q}\to\mathbb{Q} \). Значит, его можно использовать в определении вещественных чисел!

[atlakatl]

beroal в сообщении #1255594 писал(а):

Значит, его можно использовать в определении вещественных чисел!

Почему "значит"? $\varepsilon-\delta$-формализм только для них и применяется.

[Anton_Peplov]

beroal в сообщении #1255594 писал(а):

Значит, его можно использовать в определении вещественных чисел!

А зачем Вам для этого функции? Последовательностей не хватает?
Формулируете понятия фундаментальной последовательности и предела. А потом заявляете, что каждая фундаментальная последовательность рациональных чисел имеет предел. Все такие пределы называете действительными числами. Вуаля.

[beroal]

Anton_Peplov в сообщении #1255598 писал(а):

А потом заявляете, что каждая фундаментальная последовательность рациональных чисел имеет предел.

Это аксиома? Я не любитель аксиоматических определений \(\mathbb{R}\). Я думаю об их конструировании. Способов конструирования много. Даже слишком.

[Anton_Peplov]

beroal в сообщении #1255599 писал(а):

Это аксиома? Я не любитель аксиоматических определений \(\mathbb{R}\). Я думаю об их конструировании.

Пф. Как-то Ваши заявления не вяжутся с уровнем стартового поста. Особенно со словом "интересно" по поводу лютой банальщины. Да и про аксиоматичность / конструктивность определения через сходящиеся последовательности можно поспорить. Конструктивность, знаете ли, имеет много гитик определений.

Ладно, развлекайтесь, не буду мешать.

[iifat]

beroal в сообщении #1255599 писал(а):

Это аксиома? Я не любитель аксиоматических определений \(\mathbb{R}\). Я думаю об их конструировании. Способов конструирования много

Стесняюсь спросить, сами поняли, что сказали? Судя по вопросу, вам стоит ещё раз перечитать, что такое аксиома. И что именно вы понимаете под конструированием? Как по мне, предложенный способ как раз таки и есть конструирование.

[SomePupil]

beroal, а что Вы подразумеваете под словами "конструирование вещественных чисел"?

beroal в сообщении #1255594 писал(а):

Значит, его можно использовать в определении вещественных чисел!

Непонятно.

beroal в сообщении #1255599 писал(а):

Я не любитель аксиоматических определений ($\mathbb{R}$).

Это хорошо. Ведь надо быть не любителем, а профессионалом!

(Оффтоп)

atlakatl в сообщении #1255597 писал(а):

$\varepsilon-\delta$-формализм только для них и применяется.

Ээ, формализм применим для любых метрических пространств.

[atlakatl]

SomePupil в сообщении #1255603 писал(а):

Ээ

(Оффтоп)

beroal говорит, что определение $R$ можно дать на языке $\varepsilon-\delta$ на основе $Q$. Я сказал, что он и так применяется в определении по Кантору. Для иных классов чисел этот язык не применяется.
При чём здесь метрические пространства? Это даже не числа.

[beroal]

Anton_Peplov в сообщении #1255601 писал(а):

Пф. Как-то Ваши заявления не вяжутся с уровнем стартового поста.

Это не заявление, это вопрос. Вы сказали:

Anton_Peplov в сообщении #1255598 писал(а):

А потом заявляете, что каждая фундаментальная последовательность рациональных чисел имеет предел.

На каком основании заявляете? Вы это доказываете или постулируете?

Anton_Peplov в сообщении #1255601 писал(а):

Особенно со словом "интересно" по поводу лютой банальщины.

Кому как. Мне не нравятся существующие определения вещественных чисел (кроме аксиоматических). Они ведут к запутанным доказательствам. Так не должно быть.

Я придумал следующее определение вещественных чисел. (Подразумевается, что область действия квантора, который связывает переменную \(\varepsilon \) или \(\delta \) с подстрочными или надстрочными добавками, есть \(\mathbb{Q}_{>0} \).) Вещественное число есть функция \(f:\mathbb{Q}_{>0}\to\mathbb{Q} \) такая, что \(\forall\varepsilon\forall\varepsilon'(|f(\varepsilon)-f(\varepsilon')| < c(\varepsilon, \varepsilon')) \).

В качестве \(c\) (to cap) можно взять \(\max \) или сумму. Или другие функции, например, для любого \(k\in\mathbb{Q}_{>0} \) можно взять \(\langle\varepsilon, \varepsilon'\rangle \mapsto k\cdot c(\varepsilon, \varepsilon') \). И мне кажется, это не предел для фантазии.

Если в этих определениях какая-то система?

Anton_Peplov в сообщении #1255601 писал(а):

Да и про аксиоматичность / конструктивность определения через сходящиеся последовательности можно поспорить. Конструктивность, знаете ли, имеет много гитик определений.

Спорить об этом точно не является моей целью.

[Xaositect]

beroal в сообщении #1255607 писал(а):

Кому как. Мне не нравятся существующие определения вещественных чисел (кроме аксиоматических). Они ведут к запутанным доказательствам. Так не должно быть.

Я придумал следующее определение вещественных чисел. (Подразумевается, что область действия квантора, который связывает переменную $\varepsilon$ или $\delta$ с подстрочными или надстрочными добавками, есть $\mathbb{Q}_{>0}$.) Вещественное число есть функция $f:\mathbb{Q}_{>0}\to\mathbb{Q}$ такая, что $\forall\varepsilon\forall\varepsilon'(|f(\varepsilon)-f(\varepsilon')| < c(\varepsilon, \varepsilon'))$.

В качестве $c$ (to cap) можно взять $\max $ или сумму. Или другие функции, например, для любого $k\in\mathbb{Q}_{>0} $ можно взять $\langle\varepsilon, \varepsilon'\rangle \mapsto k\cdot c(\varepsilon, \varepsilon') $. И мне кажется, это не предел для фантазии.

А разве тут доказательства будут проще, чем через фундаментальные последовательности? По сути одно и то же ведь.

[iifat]

beroal в сообщении #1255607 писал(а):

Я придумал следующее определение вещественных чисел

Дык мало ж придумать-то. Надо ещё доказать, что придуманное удовлетворяет свойствам действительных чисел.
Пример навскидку: $f(q)=\pm q$, где знак выбирается произвольным образом. По-моему, эта последовательность удовлетворяет вашему определению, если за ограничивающую функцию взять сумму. Какое действительное число она представляет?

Xaositect в сообщении #1255614 писал(а):

проще, чем через фундаментальные последовательности? По сути одно и то же ведь

Что-то я фундаментальности не углядываю.

[Xaositect]

iifat в сообщении #1255616 писал(а):

Какое действительное число она представляет?

$0$ же. Я так понял, что действительное число, определяемое функцией $f$ - это $\lim_{x \to 0} f(x)$.

[iifat]

А, вот оно как. Действительно, тогда в этих рассуждениях заметен хоть какой-то смысл.

[Munin]

beroal в сообщении #1255607 писал(а):

Я придумал следующее определение вещественных чисел. (Подразумевается, что область действия квантора, который связывает переменную \(\varepsilon \) или \(\delta \) с подстрочными или надстрочными добавками, есть \(\mathbb{Q}_{>0} \).) Вещественное число есть функция \(f:\mathbb{Q}_{>0}\to\mathbb{Q} \) такая, что \(\forall\varepsilon\forall\varepsilon'(|f(\varepsilon)-f(\varepsilon')| < c(\varepsilon, \varepsilon')) \).

Тогда я беру две таких разных функции с одинаковым $\lim\limits_{x\to 0}f(q),$ и это разные вещественные числа, так?