2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 непрерывная функция рациональных чисел
Сообщение14.10.2017, 09:29 
Аватара пользователя


17/04/11
356
Ну, я не буду копировать \(\epsilon \)-\(\delta\)-определение непрерываной функции, вы все его знаете. Интересно, что оно имеет смысл, если функция имеет тип \(\mathbb{Q}\to\mathbb{Q} \). Значит, его можно использовать в определении вещественных чисел!

 Профиль  
                  
 
 Re: непрерывная функция рациональных чисел
Сообщение14.10.2017, 09:55 
Аватара пользователя


21/09/12

1871
beroal в сообщении #1255594 писал(а):
Значит, его можно использовать в определении вещественных чисел!
Почему "значит"? $\varepsilon-\delta$-формализм только для них и применяется.

 Профиль  
                  
 
 Re: непрерывная функция рациональных чисел
Сообщение14.10.2017, 10:04 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
5557
beroal в сообщении #1255594 писал(а):
Значит, его можно использовать в определении вещественных чисел!
А зачем Вам для этого функции? Последовательностей не хватает?
Формулируете понятия фундаментальной последовательности и предела. А потом заявляете, что каждая фундаментальная последовательность рациональных чисел имеет предел. Все такие пределы называете действительными числами. Вуаля.

 Профиль  
                  
 
 Re: непрерывная функция рациональных чисел
Сообщение14.10.2017, 10:30 
Аватара пользователя


17/04/11
356
Anton_Peplov в сообщении #1255598 писал(а):
А потом заявляете, что каждая фундаментальная последовательность рациональных чисел имеет предел.

Это аксиома? Я не любитель аксиоматических определений \(\mathbb{R}\). Я думаю об их конструировании. Способов конструирования много. Даже слишком.

 Профиль  
                  
 
 Re: непрерывная функция рациональных чисел
Сообщение14.10.2017, 10:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


20/08/14
5557
beroal в сообщении #1255599 писал(а):
Это аксиома? Я не любитель аксиоматических определений \(\mathbb{R}\). Я думаю об их конструировании.
Пф. Как-то Ваши заявления не вяжутся с уровнем стартового поста. Особенно со словом "интересно" по поводу лютой банальщины. Да и про аксиоматичность / конструктивность определения через сходящиеся последовательности можно поспорить. Конструктивность, знаете ли, имеет много гитик определений.

Ладно, развлекайтесь, не буду мешать.

 Профиль  
                  
 
 Re: непрерывная функция рациональных чисел
Сообщение14.10.2017, 11:12 
Заслуженный участник


16/02/13
3198
Владивосток
beroal в сообщении #1255599 писал(а):
Это аксиома? Я не любитель аксиоматических определений \(\mathbb{R}\). Я думаю об их конструировании. Способов конструирования много
Стесняюсь спросить, сами поняли, что сказали? Судя по вопросу, вам стоит ещё раз перечитать, что такое аксиома. И что именно вы понимаете под конструированием? Как по мне, предложенный способ как раз таки и есть конструирование.

 Профиль  
                  
 
 Re: непрерывная функция рациональных чисел
Сообщение14.10.2017, 11:18 
Аватара пользователя


07/01/15
930
Якутск
beroal, а что Вы подразумеваете под словами "конструирование вещественных чисел"?

beroal в сообщении #1255594 писал(а):
Значит, его можно использовать в определении вещественных чисел!

Непонятно.

beroal в сообщении #1255599 писал(а):
Я не любитель аксиоматических определений ($\mathbb{R}$).

Это хорошо. Ведь надо быть не любителем, а профессионалом!

(Оффтоп)

atlakatl в сообщении #1255597 писал(а):
$\varepsilon-\delta$-формализм только для них и применяется.

Ээ, формализм применим для любых метрических пространств.

 Профиль  
                  
 
 Re: непрерывная функция рациональных чисел
Сообщение14.10.2017, 11:46 
Аватара пользователя


21/09/12

1871
SomePupil в сообщении #1255603 писал(а):
Ээ

(Оффтоп)

beroal говорит, что определение $R$ можно дать на языке $\varepsilon-\delta$ на основе $Q$. Я сказал, что он и так применяется в определении по Кантору. Для иных классов чисел этот язык не применяется.
При чём здесь метрические пространства? Это даже не числа.

 Профиль  
                  
 
 Re: непрерывная функция рациональных чисел
Сообщение14.10.2017, 11:51 
Аватара пользователя


17/04/11
356
Anton_Peplov в сообщении #1255601 писал(а):
Пф. Как-то Ваши заявления не вяжутся с уровнем стартового поста.

Это не заявление, это вопрос. Вы сказали:
Anton_Peplov в сообщении #1255598 писал(а):
А потом заявляете, что каждая фундаментальная последовательность рациональных чисел имеет предел.

На каком основании заявляете? Вы это доказываете или постулируете?
Anton_Peplov в сообщении #1255601 писал(а):
Особенно со словом "интересно" по поводу лютой банальщины.

Кому как. Мне не нравятся существующие определения вещественных чисел (кроме аксиоматических). Они ведут к запутанным доказательствам. Так не должно быть.

Я придумал следующее определение вещественных чисел. (Подразумевается, что область действия квантора, который связывает переменную \(\varepsilon \) или \(\delta \) с подстрочными или надстрочными добавками, есть \(\mathbb{Q}_{>0} \).) Вещественное число есть функция \(f:\mathbb{Q}_{>0}\to\mathbb{Q} \) такая, что \(\forall\varepsilon\forall\varepsilon'(|f(\varepsilon)-f(\varepsilon')| < c(\varepsilon, \varepsilon')) \).

В качестве \(c\) (to cap) можно взять \(\max \) или сумму. Или другие функции, например, для любого \(k\in\mathbb{Q}_{>0} \) можно взять \(\langle\varepsilon, \varepsilon'\rangle \mapsto k\cdot c(\varepsilon, \varepsilon') \). И мне кажется, это не предел для фантазии.

Если в этих определениях какая-то система?

Anton_Peplov в сообщении #1255601 писал(а):
Да и про аксиоматичность / конструктивность определения через сходящиеся последовательности можно поспорить. Конструктивность, знаете ли, имеет много гитик определений.

Спорить об этом точно не является моей целью.

 Профиль  
                  
 
 Re: непрерывная функция рациональных чисел
Сообщение14.10.2017, 12:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6014
beroal в сообщении #1255607 писал(а):
Кому как. Мне не нравятся существующие определения вещественных чисел (кроме аксиоматических). Они ведут к запутанным доказательствам. Так не должно быть.

Я придумал следующее определение вещественных чисел. (Подразумевается, что область действия квантора, который связывает переменную $\varepsilon$ или $\delta$ с подстрочными или надстрочными добавками, есть $\mathbb{Q}_{>0}$.) Вещественное число есть функция $f:\mathbb{Q}_{>0}\to\mathbb{Q}$ такая, что $\forall\varepsilon\forall\varepsilon'(|f(\varepsilon)-f(\varepsilon')| < c(\varepsilon, \varepsilon'))$.

В качестве $c$ (to cap) можно взять $\max $ или сумму. Или другие функции, например, для любого $k\in\mathbb{Q}_{>0} $ можно взять $\langle\varepsilon, \varepsilon'\rangle \mapsto k\cdot c(\varepsilon, \varepsilon') $. И мне кажется, это не предел для фантазии.
А разве тут доказательства будут проще, чем через фундаментальные последовательности? По сути одно и то же ведь.

 Профиль  
                  
 
 Re: непрерывная функция рациональных чисел
Сообщение14.10.2017, 12:35 
Заслуженный участник


16/02/13
3198
Владивосток
beroal в сообщении #1255607 писал(а):
Я придумал следующее определение вещественных чисел
Дык мало ж придумать-то. Надо ещё доказать, что придуманное удовлетворяет свойствам действительных чисел.
Пример навскидку: $f(q)=\pm q$, где знак выбирается произвольным образом. По-моему, эта последовательность удовлетворяет вашему определению, если за ограничивающую функцию взять сумму. Какое действительное число она представляет?
Xaositect в сообщении #1255614 писал(а):
проще, чем через фундаментальные последовательности? По сути одно и то же ведь
Что-то я фундаментальности не углядываю.

 Профиль  
                  
 
 Re: непрерывная функция рациональных чисел
Сообщение14.10.2017, 13:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6014
iifat в сообщении #1255616 писал(а):
Какое действительное число она представляет?
$0$ же. Я так понял, что действительное число, определяемое функцией $f$ - это $\lim_{x \to 0} f(x)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: непрерывная функция рациональных чисел
Сообщение14.10.2017, 15:45 
Заслуженный участник


16/02/13
3198
Владивосток
А, вот оно как. Действительно, тогда в этих рассуждениях заметен хоть какой-то смысл.

 Профиль  
                  
 
 Re: непрерывная функция рациональных чисел
Сообщение14.10.2017, 16:25 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


30/01/06
65076
beroal в сообщении #1255607 писал(а):
Я придумал следующее определение вещественных чисел. (Подразумевается, что область действия квантора, который связывает переменную \(\varepsilon \) или \(\delta \) с подстрочными или надстрочными добавками, есть \(\mathbb{Q}_{>0} \).) Вещественное число есть функция \(f:\mathbb{Q}_{>0}\to\mathbb{Q} \) такая, что \(\forall\varepsilon\forall\varepsilon'(|f(\varepsilon)-f(\varepsilon')| < c(\varepsilon, \varepsilon')) \).

Тогда я беру две таких разных функции с одинаковым $\lim\limits_{x\to 0}f(q),$ и это разные вещественные числа, так?

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 14 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group