Синус в форме комплексного числа...

[AKazak]

Здравствуйте!

Подскажите пожалуйста, как можно функцию

\[ \sin (x),x \in R \]

представить в одним выражением вида

$$ A(x)e^{j\phi (x)} ;A(x),\phi (x) \in {\Cal R};A(x) \geqslant 0 $$

где

$$j$$

- мнимая единица.

[V.V.]

Формула Эйлера ($e^{ix}=\cos{x}+i\sin{x}$) Вам поможет.

[AD]

Не понял задачи. Чем не устраивает

$$A(x)=\frac{\sin x}{e^{j\phi(x)}}$$

?

[AKazak]

Извините...
Я внес корективу в исходную постановку задачи.

[PAV]

AKazak писал(а):

Подскажите пожалуйста, как можно функцию

\[ \sin (x),x \in R \]

представить в одним выражением вида

$$ A(x)e^{j\phi (x)} ;A(x),\phi (x) \in {\Cal R} $$

где

$$j$$

- мнимая единица.

Вот так: $A(x)=\sin x$, $\phi (x) = 0$

Мнимую единицу принято обозначать $i$

И ничего другого принципиально не получится, потому что при любом нетривиальном (не кратном $\pi$) значении $\phi(x)$ экспонента будет комплексным числом с ненулевой мнимой частью. Естественно, при умножении на вещественное число $A(x)$ оно таковым и останется и действительным стать не сможет.

[AD]

PAV писал(а):

Мнимую единицу принято обозначать $i$

Говорят, где-то в электронике мнимую единицу обозначают $j$, потому что $i$ занята.

[AKazak]

Извините ещё раз пожалуйста...
Я опять внес исправления в исходную постановку задачи.

[PAV]

Ну это Вы легко сообразите сами, немного подкорректировав мой пример. Нужно комбинировать в качестве $\phi(x)$ значения 0 и $\pi$.

[AKazak]

PAV писал(а):

Нужно комбинировать в качестве $\phi(x)$ значения 0 и $\pi$.

Вы имеете ввиду применение операции взятия целой части (антье)?

[PAV]

Я имею в виду, что $\phi(x)$ должна принимать либо 0, либо $\pi$, в зависимости от знака функции $\sin x$. Тогда в качестве $A(x)$ можно будет взять $|\sin x|$.

[AKazak]

PAV
Это понятно.
Вся проблема в том, как это формально выразить?

[antbez]

Странная задача... Судя по условию, у нас вообще ф-ия действительного переменного!

[AD]

AKazak писал(а):

Вся проблема в том, как это формально выразить?

Ну

$$\phi(x)=\begin{cases}0,&\text{если $A(x)$ че-то-там \ldots}\\ \pi,&\text{если \ldots}\end{cases}$$

[ewert]

да, собственно, $\varphi(x)=\pi\cdot\chi_{\Omega}(x)$, где $\chi_{\Omega}$ -- характеристическая функция некоего произвольного множества $\Omega$.

[AKazak]

$$ A(x) = \left| {\sin x} \right| $$

$$ \phi (x) = \pi \left[ {\frac{x} {\pi }} \right] $$

Что вы думаете об этом варианте?