Синус в форме комплексного числа...

[Парджеттер]

PAV писал(а):

Мнимую единицу принято обозначать $i$

AD писал(а):

Говорят, где-то в электронике мнимую единицу обозначают $j$, потому что $i$ занята.

Да очень часто ее обозначают $j$, потому что $i$ часто бывает занято. В оптике, например. Вообще, чаще всего обозначение $i$ встречается у математиков. А так...? Я редко встречаю. Какая разница, как обозначать? Обзову ее $\mathbb{W}$ и нет проблем. Первичны-то всегда физические обозначения, а не математические.

[ewert]

Парджеттер писал(а):

. Какая разница, как обозначать? Обзову ее $\mathbb{W}$ и нет проблем. Первичны-то всегда физические обозначения, а не математические.

Не скажите. На этот счёт есть хорошая подпись у AD'а (если не ошибаюсь, из Литтлвуда).

[MGM]

AKazak писал(а):

Здравствуйте!

Подскажите пожалуйста, как можно функцию

\[ \sin (x),x \in R \]

представить в одним выражением вида

$$ A(x)e^{j\phi (x)} ;A(x),\phi (x) \in {\Cal R};A(x) \geqslant 0 $$

где

$$j$$

- мнимая единица.

Самое простое представление

\[ \frac{{e^{ix} + e^{ - ix} }} {{2i}} = \sin (x) \]

Но у меня есть подозрение, что постановка задачи не корректна.
Методом пристального взгляда, мы убеждаемся, что положительная (а следовательно вещественная) функция A(x) при ппроизведении на функцию с комплексными значениями даёт в резултате вещественно значимую функцию. Тогда А(x)=0;
Или я что-то важное упустил в этой жизни?

Добавлено спустя 8 минут 49 секунд:

AKazak писал(а):

$$ A(x) = \left| {\sin x} \right| $$

$$ \phi (x) = \pi \left[ {\frac{x} {\pi }} \right] $$

Что вы думаете об этом варианте?

Известный трюк. Только непонятно, при чём здесь комплексная переменная.
Можно более простую вещественную кусочно непрерывную функцию соорудить.
Это как с цветом пустого множества.

[AD]

ewert писал(а):

Не скажите. На этот счёт есть хорошая подпись у AD'а (если не ошибаюсь, из Литтлвуда).

Из Халмоша. "Как писать математические тексты".

[AKazak]

MGM писал(а):

Только непонятно, при чём здесь комплексная переменная.

Мне нужно было помножить вещественный синус на функцию, записанную в символической форме

$$ M(x)e^{i\theta (x)} $$

.
Поэтому и понадобилось представить синус в символической форме...

MGM писал(а):

Можно более простую вещественную кусочно непрерывную функцию соорудить.

Приведите пример пожалуйста...

MGM писал(а):

Это как с цветом пустого множества.

Ничего не слышал об этом.
Просветите пожалуйста...

[MGM]

AKazak писал(а):

MGM писал(а):

Только непонятно, при чём здесь комплексная переменная.

Мне нужно было помножить вещественный синус на функцию, записанную в символической форме

$$ M(x)e^{i\theta (x)} $$

.
Поэтому и понадобилось представить синус в символической форме...
Ничего не слышал об этом.
Просветите пожалуйста...

1. Если обязательно в такой форме, то, действительно, вещественные корни эйлеровой функции подходят, в Вейвлет анализе самая распостранённая форма записи.
2. Можно и так:

\[ \left( { - 1} \right)^{\left\lfloor {\frac{x} {T} - \varphi } \right\rfloor } ; \]

- Хорошая периодическая функция. Вместо эйлеровой. Факторизуется аналогично, свойства идентичны, разве что загадочный смимвол то ли i, то ли j отсутствует. Но, поверьте, я не видел ни одного доказательства, или вывода формулы, где наличие "мнимой" комплексности помогло.
3. Дискуссию про пустые множества почитайте. Где-то рядом.

Добавлено спустя 33 минуты 12 секунд:

ewert писал(а):

Парджеттер писал(а):

. Какая разница, как обозначать? Обзову ее $\mathbb{W}$ и нет проблем. Первичны-то всегда физические обозначения, а не математические.

Не скажите. На этот счёт есть хорошая подпись у AD'а (если не ошибаюсь, из Литтлвуда).

проблема решается просто. Надо ввести особый символ.
Например, никому в голову не придёт вместо

\[ \sum\limits_i {x_i } \]

писать

\[ \mathop \mathbb{Q}\limits_i x_i \]

а затем посвятить целый параграф разьяснениям по поводу введённого знака.