Оценка функции Мертенса

[vicvolf]

О порядке роста функции Мертенса

Почти всюду выполняется следующая оценка порядка роста функции Мертенса:
$P(\lim_{n \to \infty}{sup |M(n)|/(n\log \log(n))^{1/2}=2\sqrt{3}/\pi)=1$ (1)
и улучшить данную оценку нельзя.

Доказательство

Функция Мертенса имеет вид: $M(n)=\sum_{i=1}^n {\mu(i)$, где $\mu(i)$ - функция Мебиуса. В случае, если натуральное $i$ имеет четное число простых делителей первой степени, то $\mu(i)=1$, если натуральное $i$ имеет нечетное число простых делителей первой степени, то $\mu(i)=-1$, если натуральное $i$ имеет простые делители степени выше первой, то $\mu(i)=0$.

Рассмотрим интервал натурального ряда $[1,n]$. Допустим, что на этом интервале имеется $k$ натуральных чисел, имеющих простые делители только в первой степени $(1 \leq k \leq n)$. Пусть из указанных $k$ натуральных чисел $k_1$ имеют четное число простых делителей и $k_2$ имеют нечетное число простых делителей $(k_1+k_2=k)$. Обратим внимание, что значения $k_1$ и $k_2$ однозначно определяют значение функции Мертенса точке $n$: $M(n)=k_1-k_2$.

Обозначим относительную частоту события, что натуральное число имеет четное число простых делителей - $\nu_1=k_1/n$, а относительную частоту события, что натуральное число имеет нечетное число простых делителей - $\nu_2=k_2/n$. Тогда относительная частота события, что натуральное число имеет простые делители в степени выше первой будет равна $\nu_3=1 - \nu_1- \nu_2$.
Следовательно, относительные частоты $\nu_1,\nu_2$ также однозначно определяют значение функции Мертенса в точке $n$:
$M(n)=n(\nu_1-\nu_2)$. (2)

На основании усиленного закона больших чисел можно доказать, что почти наверное, данные относительные частоты сходятся к соответствующим вероятностям (для доказательства использовалась формулировка усиленного закона больших чисел данная в работе - Fazekas I., Klesov O. «A general approach to the strong laws of large Numbers», Theory of Probability and its Applications, 2001, 45:3, 436–449.) :
$p=\lim_{n \to \infty}{\nu_1}, q=\lim_{n \to \infty}{\nu_2}$ (3)
Следовательно, указанные вероятности $p,q$ однозначно определяют асимптотическое поведение функции Мертенса, которое мы исследуем.

В работе А. О. Гельфанд, Ю. В. Линник. «Элементарные методы в аналитической теории чисел». — Физматгиз, 1962. доказано, что:
$M(n)=o(n)$. (4)

На основании (2) - (4):
$\lim_{n \to \infty}{\nu_1-\nu_2}=\lim_{n \to \infty}{\nu_1}- lim_{n \to \infty}{\nu_2}=p-q=0$.
Поэтому: $p=q$. (5)

С другой стороны, известно, что плотность натуральных чисел, свободных от квадратов, равна:
$\nu_1+\nu_2=6/\pi^2+O(n^{1/2})$. (6)
На основании (5),(6) получаем:
$p=q=3/\pi^2$. (7)

На основании (5), (7) асимптотику значений функции Мебиуса $\mu(n)$ при $n \to \infty$ можно рассматривать, как некоторую случайную величину $x_i$, которая принимает значение $1,-1$ с вероятностью $p=3/\pi^2$ и значение $0$ с вероятностью $1-2p=1-6/\pi^2$. (8)

Последовательность случайных величин $x_i,(i \geq 1)$ независима по построению.

Математическое ожидание случайной величины $x_i$ равно:
$M(x_i) = 1 \cdot p + (-1) \cdot p + 0 \cdot (1-2p)= 0$. (9)

Дисперсия случайной величины $x_i$ равна:
$D(x_i) = M(x_i^2)-M(x_i)^2=2p=6/\pi^2$. (10)

Рассмотрим случайную величину: $S_n=\sum_{i=1}^n {x_i}$. Cлучайная величина $S_n$ является процессом простого симметричного блуждания.

На основании построения случайной величины $S_n$ асимптотическое поведение функции Мертенса $M(n)=\sum_{i=1}^n {\mu(i)}$ совпадает с $S_n=\sum_{i=1}^n {x_i}$, т.е. выполняется асимптотическое равенство: $M(n) \sim S_n$. (11)

На основании (9) математическое ожидание случайной величины $S_n=\sum_{i=1}^n {x_i}$ равно:
$M(S_n) = \sum_{i=1}^n {M(x_i)}= 0$. (12)

На основании (10), учитывая независимость случайных величин $x_i$, дисперсия случайной величины $S_n=\sum_{i=1}^n {x_i}$ равна:
$D(S_n) = \sum_{i=1}^n {D(x_i)}=2np. (13)

На основании (13) среднеквадратичное отклонение случайной величины $S_n$ равно:
$\sigma(S_n) =\sqrt {2np}$. (14)

Известна следующая формулировка закона повторного логарифма.
Пусть $z_i,(i \geq 1)$ последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с математическим ожиданием $M(z_i)=0$ и дисперсией $D(z_i)=\sigma^2$.
Тогда, почти наверное, выполняется следующая оценка порядка роста $Z_n=\sum_{i=1}^n {z_i}$:
$P(\lim_{n \to \infty}{sup |Z_n|/(n\log \log(n))^{1/2}=\sigma\sqrt {2})=1$. (15)

Все заданные условия закона повторного логарифма для нашей случайной величины $S_n=\sum_{i=1}^n {x_i}$ выполняются.

Учитывая (10), $\sigma=\sqrt {2p}=\sqrt {6/\pi^2}$, поэтому на основании (15), почти наверное, выполняется следующая оценка порядка роста $S_n$:
$P(\lim_{n \to \infty}{sup |S_n|/(n\log \log(n))^{1/2}=2\sqrt{3}/\pi)=1$. (16)

На основании (11) указанная асимптотическая оценка выполняется для функции Мертенса, что соответствует (1).

Ранее мы говорили, что $S_n$ является процессом простого симметричного блуждания. Естественно возникает вопрос. Если оценка (15) справедлива для суммы независимых одинаково распределенных случайных величин, то можно ли усилить оценку (15) для простого симметричного блуждания?

В работе А. Я. Хинчин. «Избранные труды по теории вероятностей». М., 1995, 552 с., что формула (15) справедлива также для простого симметричного блуждания и усилить ее нельзя. Оценка порядка роста функции Мертенса (1) выполняется почти для всех случаев, поэтому для всех случаев возможна только более слабая оценка и улучшить оценку (15) нельзя.

[g______d]

vicvolf в сообщении #1253373 писал(а):

На основании усиленного закона больших чисел можно доказать, что почти наверное, данные относительные частоты сходятся к соответствующим вероятностям (для доказательства использовалась формулировка усиленного закона больших чисел данная в работе - Fazekas I., Klesov O. «A general approach to the strong laws of large Numbers», Theory of Probability and its Applications, 2001, 45:3, 436–449.) :

Сформулируйте, что значит "относительные частоты почти наверное сходятся к вероятностям", а также поясните, по какой именно мере это "почти наверное".

[ex-math]

Как говорят в шутку "для почти всех почти всё верно". Здесь есть доля правды, такие результаты практически бесполезны, хотя могут быть красивыми. Поэтому даже вчитываться особого желания нет.

[vicvolf]

ex-math в сообщении #1253609 писал(а):

Как говорят в шутку "для почти всех почти всё верно". Здесь есть доля правды, такие результаты практически бесполезны, хотя могут быть красивыми. Поэтому даже вчитываться особого желания нет.

Я не считаю, что это бесполезно. Доказательство - почти наверное (почти всюду) дает оценки, выше которых "прыгнуть нельзя" для всех случаев. Таким образом, дается верхняя возможная граница оценок исследуемой величины. Это отметает попытки более сильных оценок, которые имеются.

[пианист]

Цитата:

На основании (5), (7) асимптотику значений функции Мебиуса $\mu(n)$ при $n \to \infty$ можно рассматривать, как некоторую случайную величину

А почему можно?

[Евгений Машеров]

пианист в сообщении #1253669 писал(а):

А почему можно?

Потому, что нельзя. Но очень хочется. Если бы это была случайная величина, причём отдельные значения независимы, оценки получаются очень приятные. Но только как доказательство не годятся. Потому как это не только не случайная величина, а даже не детерминированная величина, ведущая себя, как случайная величина (наподобие выхода программного ГСЧ). В лучшем случае это "догадки и напрямки" для формулирования гипотез, в худшем и реальном безосновательные фантазии.

[vicvolf]

пианист в сообщении #1253669 писал(а):

Цитата:

На основании (5), (7) асимптотику значений функции Мебиуса $\mu(n)$ при $n \to \infty$ можно рассматривать, как некоторую случайную величину

А почему можно?

Евгений Машеров в сообщении #1253673 писал(а):

Если бы это была случайная величина, причём отдельные значения независимы, оценки получаются очень приятные. Но только как доказательство не годятся. Потому как это не только не случайная величина, а даже не детерминированная величина, ведущая себя, как случайная величина (наподобие выхода программного ГСЧ).

Я не говорю, что значения функции Мебиуса в точках натурального ряда являются случайными и независимыми величинами. Я говорю только, что в асимптотике функция Мебиуса ведет себя, как последовательность случайных и независимых величин. Впрочем можно обойтись и без независимости http://math.nsc.ru/journals/ti/13/ti_13_0004.pdf. Процитирую специалиста, с которым полностью согласен: "Случайные величины это самые обычные функции над множеством, на котором определена сигма-алгебра и вероятностное распределение. Не надо придавать случайности какой-то мистический, интуитивный, нечеткий смысл.".

[Droog_Andrey]

Если бы там всё было случайно, то у дзета-функции Римана вообще бы не было нетривиальных нулей.

[g______d]

vicvolf в сообщении #1253722 писал(а):

Я говорю только, что в асимптотике функция Мебиуса ведет себя, как последовательность случайных и независимых величин.

На математическом языке это сформулируйте.

[Brukvalub]

vicvolf в сообщении #1253645 писал(а):

Доказательство - почти наверное (почти всюду) дает оценки, выше которых "прыгнуть нельзя" для всех случаев. Таким образом, дается верхняя возможная граница оценок исследуемой величины. Это отметает попытки более сильных оценок, которые имеются.

Это ложное суждение. Мало ли кто какую верхнюю оценку напишет, хоть и "почти всюду". Нельзя улучшить только те оценки, про которые доказано, что они точные.

vicvolf в сообщении #1253722 писал(а):

Процитирую специалиста, с которым полностью согласен: "Случайные величины это самые обычные функции над множеством, на котором определена сигма-алгебра и вероятностное распределение. Не надо придавать случайности какой-то мистический, интуитивный, нечеткий смысл.".

Разве здесь кто-то придавал "случайности какой-то мистический, интуитивный, нечеткий смысл"? К чему вы пишете эти "хфилософские пассажи"? Откуда берете уверенность, что здесь вас критикуют те, кто придает "случайности какой-то мистический, интуитивный, нечеткий смысл"?
Более того, эта хфилософия попросту ложна, поскольку "самые обычные функции над множеством, на котором определена сигма-алгебра и вероятностное распределение" являются с.в. только если они измеримы относительно этой сигма-алгебры, о чем "процитированный специалист" сказать забыл.

[vicvolf]

Droog_Andrey в сообщении #1253739 писал(а):

Если бы там всё было случайно, то у дзета-функции Римана вообще бы не было нетривиальных нулей.

Никто не говорит, что там все случайно. Это же оценка почти всюду.

Brukvalub в сообщении #1253766 писал(а):

Нельзя улучшить только те оценки, про которые доказано, что они точные.

Это с чего вы взяли? Это ошибочное утверждение! Есть примеры улучшения оценок. Вот например, оценка той же функции Мертенса $|M(n)| \leq n$ является точной, но была улучшена - $|M(n)|=o(n)$.

Цитата:

Более того, эта хфилософия попросту ложна, поскольку "самые обычные функции над множеством, на котором определена сигма-алгебра и вероятностное распределение" являются с.в. только если они измеримы относительно этой сигма-алгебры, о чем "процитированный специалист" сказать забыл.

Очевидно в этой фразе не ставилась цель - дать точную формулировку, а просто - пояснить подход. Не понял, почему это вас так задело.

g______d в сообщении #1253758 писал(а):

vicvolf в сообщении #1253722 писал(а):

Я говорю только, что в асимптотике функция Мебиуса ведет себя, как последовательность случайных и независимых величин.

На математическом языке это сформулируйте.

$\mu(n) \sim x_n$.

[grizzly]

vicvolf в сообщении #1253810 писал(а):

Не понял, почему это вас так задело.

Да потому что Вы [неудачно] пытаетесь сформулировать определение из Википедии и объявляете его откровением какого-то специалиста. Сослались бы просто на Википедию или любой какой-нибудь простенький учебник.

Вики писал(а):

пусть $(\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )$ -- вероятностное пространство, тогда случайной величиной называется функция $X\colon \Omega \to \mathbb {R}$, измеримая относительно ${\mathcal {F}}$ и борелевской $\sigma$-алгебры на $\mathbb {R}$.

Я не постесняюсь спросить: а до того, как Вам этот специалист объяснил про случайную величину, что Вы под ней понимали?

vicvolf в сообщении #1253810 писал(а):

Вот например, оценка той же функции Мертенса $|M(n)| \leq n$ является точной, но была улучшена - $|M(n)|=o(n)$.

Вы, наверное, думаете, что "точная оценка" -- это "правильная оценка", да? А не[ ]точная, следовательно, ошибочная...

[Brukvalub]

vicvolf в сообщении #1253810 писал(а):

Brukvalub в сообщении #1253766

писал(а):
Нельзя улучшить только те оценки, про которые доказано, что они точные.

Это с чего вы взяли? Это ошибочное утверждение! Есть примеры улучшения оценок. Вот например, оценка той же функции Мертенса $|M(n)| \leq n$ является точной, но была улучшена - $|M(n)|=o(n)$.

Тяжелый случай...Вызывает удивление ваше полное непонимание простейшего и повсеместно употребляемого профессиональными математиками термина "точная оценка".

[vicvolf]

grizzly в сообщении #1253824 писал(а):

Да потому что Вы [неудачно] пытаетесь сформулировать определение из Википедии и объявляете его откровением какого-то специалиста. Сослались бы просто на Википедию или любой какой-нибудь простенький учебник.

Вы не поняли меня. Я не понял Вас. Даже не знаю, что ответить на такое... Давайте не будем отклоняться от темы.

Brukvalub в сообщении #1253825 писал(а):

vicvolf в сообщении #1253810 писал(а):

Brukvalub в сообщении #1253766
писал(а):
Нельзя улучшить только те оценки, про которые доказано, что они точные.
Это с чего вы взяли? Это ошибочное утверждение! Есть примеры улучшения оценок. Вот например, оценка той же функции Мертенса $|M(n)| \leq n$ является точной, но была улучшена - $|M(n)|=o(n)$.

Тяжелый случай...Вызывает удивление ваше полное непонимание простейшего и повсеместно употребляемого профессиональными математиками термина "точная оценка".

Извините устал, поэтому не то написал, что хотел. Вторая оценка $|M(n)|=o(n)$ более точная, чем $|M(n)| \leq n$. А Вы можете указать точную оценку функции Мертенса? Вот эквивалентная формулировка гипотезы Римана: $M(n)=O(n^{1/2+\epsilon})$ точная оценка?

[g______d]

vicvolf в сообщении #1253810 писал(а):

$\mu(n) \sim x_n$.

Что это значит? Напишите настолько формально математически, насколько возможно.