О порядке роста функции МертенсаПочти всюду выполняется следующая оценка порядка роста функции Мертенса:
(1)
и улучшить данную оценку нельзя.
ДоказательствоФункция Мертенса имеет вид:
, где
- функция Мебиуса. В случае, если натуральное
имеет четное число простых делителей первой степени, то
, если натуральное
имеет нечетное число простых делителей первой степени, то
, если натуральное
имеет простые делители степени выше первой, то
.
Рассмотрим интервал натурального ряда
. Допустим, что на этом интервале имеется
натуральных чисел, имеющих простые делители только в первой степени
. Пусть из указанных
натуральных чисел
имеют четное число простых делителей и
имеют нечетное число простых делителей
. Обратим внимание, что значения
и
однозначно определяют значение функции Мертенса точке
:
.
Обозначим относительную частоту события, что натуральное число имеет четное число простых делителей -
, а относительную частоту события, что натуральное число имеет нечетное число простых делителей -
. Тогда относительная частота события, что натуральное число имеет простые делители в степени выше первой будет равна
.
Следовательно, относительные частоты
также однозначно определяют значение функции Мертенса в точке
:
. (2)
На основании усиленного закона больших чисел можно доказать, что почти наверное, данные относительные частоты сходятся к соответствующим вероятностям (для доказательства использовалась формулировка усиленного закона больших чисел данная в работе - Fazekas I., Klesov O. «A general approach to the strong laws of large Numbers», Theory of Probability and its Applications, 2001, 45:3, 436–449.) :
(3)
Следовательно, указанные вероятности
однозначно определяют асимптотическое поведение функции Мертенса, которое мы исследуем.
В работе А. О. Гельфанд, Ю. В. Линник. «Элементарные методы в аналитической теории чисел». — Физматгиз, 1962. доказано, что:
. (4)
На основании (2) - (4):
.
Поэтому:
. (5)
С другой стороны, известно, что плотность натуральных чисел, свободных от квадратов, равна:
. (6)
На основании (5),(6) получаем:
. (7)
На основании (5), (7) асимптотику значений функции Мебиуса
при
можно рассматривать, как некоторую случайную величину
, которая принимает значение
с вероятностью
и значение
с вероятностью
. (8)
Последовательность случайных величин
независима по построению.
Математическое ожидание случайной величины
равно:
. (9)
Дисперсия случайной величины
равна:
. (10)
Рассмотрим случайную величину:
. Cлучайная величина
является процессом простого симметричного блуждания.
На основании построения случайной величины
асимптотическое поведение функции Мертенса
совпадает с
, т.е. выполняется асимптотическое равенство:
. (11)
На основании (9) математическое ожидание случайной величины
равно:
. (12)
На основании (10), учитывая независимость случайных величин
, дисперсия случайной величины
равна:
. (13)
На основании (13) среднеквадратичное отклонение случайной величины
равно:
. (14)
Известна следующая формулировка закона повторного логарифма.
Пусть
последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин с математическим ожиданием
и дисперсией
.
Тогда, почти наверное, выполняется следующая оценка порядка роста
:
. (15)
Все заданные условия закона повторного логарифма для нашей случайной величины
выполняются.
Учитывая (10),
, поэтому на основании (15), почти наверное, выполняется следующая оценка порядка роста
:
. (16)
На основании (11) указанная асимптотическая оценка выполняется для функции Мертенса, что соответствует (1).
Ранее мы говорили, что
является процессом простого симметричного блуждания. Естественно возникает вопрос. Если оценка (15) справедлива для суммы независимых одинаково распределенных случайных величин, то можно ли усилить оценку (15) для простого симметричного блуждания?
В работе А. Я. Хинчин. «Избранные труды по теории вероятностей». М., 1995, 552 с., что формула (15) справедлива также для простого симметричного блуждания и усилить ее нельзя. Оценка порядка роста функции Мертенса (1) выполняется почти для всех случаев, поэтому для всех случаев возможна только более слабая оценка и улучшить оценку (15) нельзя.