Найти вектор скорости на эллиптической(кеплеровой) орбите

[fry123]

Доброго времени суток.
Есть задача по нахождению вектора скорости в любой точке на эллиптической (кеплеровой) орбите.
У нас есть вся информация по эллипсу(большая полуось, фокальное расстояние, эксцентриситет и тд...), массы 2х тел и начальный вектор скорости в перигее.
Я могу найти этот вектор используя математику:
1) найти радиусы-векторы из фокусов к искомой точке.
2) расчитать угол между ними
3) найти угол к касательной
4) повернуть нормалмзированный радиус из фокуса на найденные углы
5) перемножить его со скоростью(найденную зарание)
Но такой алгоритм слишком затратный в плане вычислительных ресурсов, а быстродействие очень важно!
Поэтому подскажите пожалуйста более оптимальный алгоритм, или физическую формулу для решения этой задачи.

[Pphantom]

Кхм... хотелось бы увидеть задачу, для которой в 2017 году быстродействие при таких вычислениях является важным, но...

Найдите интегралы энергии и площадей для орбиты, из них искомый вектор легко восстанавливается.

[Pphantom]

Тема перемещена из форума «Физика» в форум «Помогите решить / разобраться (Ф)»

[fred1996]

На длинный алгоритм действительно не стоит заморачиваться, если радиальная и тангенциальная скорости вычисляются на раз из заданных энергии и момента количества движения.

Кстати, по ходу образовалась задачка для школьников.
В какой точке радиальная скорость достигает максимума?
Ведь в апогее и перигее она равна нулю.

[DimaM]

fred1996 в сообщении #1251694 писал(а):

В какой точке радиальная скорость достигает максимума?

(Оффтоп)

Очевидно, что в точке минимума эффективной потенциальной энергии (на радиусе, равной радиусу круговой орбиты при данном моменте импульса).

[fred1996]

DimaM
Да, хороший качественный ответ, правда не совсем школьного уровня. :)

[Pphantom]

(Оффтоп)

fred1996 в сообщении #1251726 писал(а):

правда не совсем школьного уровня. :)

А со школьным уровнем тут все равно ничего хорошего, кажется, не получить.

[fred1996]

Pphantom
А вы знаете, как ни странно, получится.
Если полную энергию расписать через угловой момент, радиальную скорость и остальные параметры, то квадрат радиальной скорости выражается через Квадратичную функцию от $\frac{1}{r}$.
То есть нужно просто найти максимум для заданной параболы. Ответ совпадает с данным
DimaM
Проверил.

[DimaM]

fred1996 в сообщении #1251751 писал(а):

Если полную энергию расписать через угловой момент, радиальную скорость и остальные параметры, то квадрат радиальной скорости выражается через Квадратичную функцию от $\frac{1}{r}$.
То есть нужно просто найти максимум для заданной параболы. Ответ совпадает с данным DimaM

Естественно, это просто то же самое выражение.

[Pphantom]

fred1996 в сообщении #1251751 писал(а):

Если полную энергию расписать через угловой момент, радиальную скорость и остальные параметры, то квадрат радиальной скорости выражается через Квадратичную функцию от $\frac{1}{r}$.

Это да, но это не совсем школьный вариант (по крайней мере для России).

[fred1996]

Pphantom
DimaM
По-моему из нешкольного тут только выражение приведенная потенциальная энергия.
Если его убрать, то все остальное укладывается в обычную школьную алгебру.

[fry123]

Pphantom в сообщении #1251666 писал(а):

Кхм... хотелось бы увидеть задачу, для которой в 2017 году быстродействие при таких вычислениях является важным, но...

Задача заключается в рендеринге упрощенной физической модели на мобильных устройствах

-- 30.09.2017, 01:25 --

fred1996 в сообщении #1251694 писал(а):

На длинный алгоритм действительно не стоит заморачиваться, если радиальная и тангенциальная скорости вычисляются на раз из заданных энергии и момента количества движения.

Объясните пожалуйста поподробнее. Разве что-бы найти момент количества движения нам не нужно знать сам импульс, который считается из искомого вектора скорости?

[Pphantom]

fry123 в сообщении #1251881 писал(а):

Объясните пожалуйста поподробнее. Разве что-бы найти момент количества движения нам не нужно знать сам импульс, который считается из искомого вектора скорости?

Нет, он в этом случае константа, чем и нужно воспользоваться.

[fry123]

Pphantom в сообщении #1251888 писал(а):

Нет, он в этом случае константа, чем и нужно воспользоваться.

Что-то я совсем запутался:( Если момент импульса - константа, энергия - константа, то мы можем найти скорость. Но это будет скаляр. А как найти именно вектор скорости?

[fred1996]

fry123 в сообщении #1251902 писал(а):

Pphantom в сообщении #1251888 писал(а):

Нет, он в этом случае константа, чем и нужно воспользоваться.

Что-то я совсем запутался:( Если момент импульса - константа, энергия - константа, то мы можем найти скорость. Но это будет скаляр. А как найти именно вектор скорости?

У вас еще есть такой параметр как расстояние.

ладно

(не подсматривать!)

Вот вам энергия:

$E=\frac{1}{2}mv_r^2+\frac{1}{2}mv_t^2-G\frac{mM}{r}$

А вот момент количества движения:

$L=mrv_t$

Они константы, а $r$ параметр.

Ну а через уравнение эллипса в полярных координатах еще проще:

$r=\frac{r_0}{1-\varepsilon\cos\varphi}$

Тогда $v_r=\frac{r_0\varepsilon\sin\varphi}{(1-\varepsilon\cos\varphi)^2}\omega$

A $v_t=r\omega$

Получаем $\tg\theta=\frac{v_r}{v_t}=\frac{\varepsilon\sin\varphi}{1-\varepsilon\cos\varphi}$

Что выглядит совсем приятно