Игра устройств.

[EUgeneUS]

worm2 в сообщении #1251132 писал(а):

Для знакомых с теорией игр — это не олимпиадная задача, а учебная, я бы сказал.

Да. Как раз на таких задачах рассматривается, что даже если нет равновесия по Нэшу в чистых стратегиях, оно есть в смешанных.

(тут разбор аналогичной задачи с видео и картинками)

Вот тут

[atlakatl]

zhekas
Да, всё правильно.
Осталось найти платёж за ошибку Б, при котором игра справедливая. 1/24 тоже деньги.
Понятно, что и вероятности при этом изменятся.

[zhekas]

atlakatl в сообщении #1251274 писал(а):

zhekas
Осталось найти платёж за ошибку Б, при котором игра справедливая.

$\sqrt2$

[atlakatl]

zhekas
Обожаю иррациональные ответы в простых задачах. Всё правильно.
А вероятности?

[zhekas]

atlakatl в сообщении #1251279 писал(а):

zhekas
А вероятности?

$\frac{(2+\sqrt2)}{(3+2\sqrt2)}$

[atlakatl]

zhekas
Всё-то Вы знаете. Спасибо.
Ответ преобразуется к $p_{1,2}=2-\sqrt{2}$.
Как-то буднично всё закончилось. Часть решавших с методом так и не ознакомились. Стоит ли рассказать?

[SVD-d]

Стоит

[atlakatl]

SVD-d
Для ускорения процесса и облегчения восприятия упрощу обозначения.
x - вероятность выдать 1 для А
y - вероятность выдать 1 для Б
a - плата за ошибку для Б
Построим функцию выигрыша для А. Предварительно вспомним, что вероятность выдать 2 - (1-x) и (1-y) соответственно.
Итак, есть 4 возможных исхода для каждой игры в серии: $(1;1), (1;2), (2;1), (2;2)$. Опишем прибыль от каждого из них.
$f(x)=a(x(1-y)+y(1-x))-xy-2(1-x)(1-y)$
Первое выражение это прибыль А: у А выпало 1, а у Б - 2. Ну и наоборот. Всё это умножаем на штраф a.
$xy$ это убыток, когда у обоих игроков 1, $2(1-x)(1-y)$ - когда у обоих 2.
Ну и замечаем, что x и y в функции равноправны, - т.е. они численно равны. - Чтоб не дублировать расчёты.
После преобразований получаем:
$f(x)=(a+2-(2a+3)x)y+ax-2$
Берём частные производные, получаем: $x=y=\frac{2+a}{3+2a}$ (1)
Так как мы предполагаем соорудить справедливую игру, приравниваем $f(x)=0$, заменяем x и y на их выражения через a по формуле (1), получая $a=\sqrt{2}$
Как видим, "разумное" представление, что $a=1,5$ и $x=y=0,5$ неверно, а верный ответ угадать не получится.

[Sender]

atlakatl в сообщении #1251308 писал(а):

верный ответ угадать не получится.

Подумаешь, бином Ньютона. Это же среднее геометрическое.

[wrest]

atlakatl в сообщении #1251308 писал(а):

a - плата за ошибку для Б

А что это такое?

atlakatl в сообщении #1251308 писал(а):

Опишем прибыль от каждого из них.
$f(x)=a(x(1-y)+y(1-x))-xy-2(1-x)(1-y)$

Вероятно, имеется в виду $f(x,y)$ а не $f(x)$?

-- 28.09.2017, 10:04 --

atlakatl в сообщении #1251308 писал(а):

Ну и замечаем, что x и y в функции равноправны, - т.е. они численно равны.

Поясните пож-ста, что значит "равноправны" и как из этого следует "численно равны"?

[atlakatl]

$a$ единиц платит Б, если он ошибся в угадывании. В задаче $a=1,5$, в ответе $a=\sqrt{2}$.

wrest в сообщении #1251415 писал(а):

Вероятно, имеется в виду $f(x,y)$ а не $f(x)$?

Да.

wrest в сообщении #1251415 писал(а):

что значит "равноправны" и как из этого следует "численно равны"?

Если в функции выигрыша поменять x и y местами, функция не изменится. - Т.е. равноправны.
Насчёт "численно равны" я сморозил. Правильно сказать, что для каждой пары $(x_t, y_t)$ найдётся $(y_t, x_t)$

[wrest]

atlakatl в сообщении #1251423 писал(а):

wrest в сообщении #1251415 писал(а):

Вероятно, имеется в виду $f(x,y)$ а не $f(x)$?

Да.

Тогда можно еще раз, допустим получилось что $f=0,7$, это чья прибыль? Что вообще такое эта $f$?

[atlakatl]

wrest
Давайте обозначим их $f_{x}(x, y)$ и $f_{y}(x, y)$, чтоб не было путаницы. Это функции выигрышей. В данном случае они показывают, сколько выигрывают в среднем за одну игру А и Б соответственно. Положительные значения это выигрыш, отрицательные - убыток.
Понятно, что $f_{x}(x, y)=-f_{y}(x, y)$.

[EUgeneUS]

atlakatl в сообщении #1251433 писал(а):

Понятно, что $f_{x}(x, y)=-f_{y}(x, y)$.

Кстати, это непонятно. Согласно условию:

atlakatl в сообщении #1251081 писал(а):

Устройства А и Б независимо друг от друга формируют числа 1 или 2. Если числа совпадают, Б получает данное число единиц. Иначе А получает 1,5 единицы.

Неясно, эти "единицы" игроки получают от соперника или из воздуха. То есть игра с нулевым банком или нет.

[atlakatl]

EUgeneUS
Игра с нулевым балансом.