2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.
 
 Re: Игра устройств.
Сообщение27.09.2017, 17:33 
Аватара пользователя


11/12/16
14039
уездный город Н
worm2 в сообщении #1251132 писал(а):
Для знакомых с теорией игр — это не олимпиадная задача, а учебная, я бы сказал.

Да. Как раз на таких задачах рассматривается, что даже если нет равновесия по Нэшу в чистых стратегиях, оно есть в смешанных.

(тут разбор аналогичной задачи с видео и картинками)


 Профиль  
                  
 
 Re: Игра устройств.
Сообщение27.09.2017, 17:43 
Аватара пользователя


21/09/12

1871
zhekas
Да, всё правильно.
Осталось найти платёж за ошибку Б, при котором игра справедливая. 1/24 тоже деньги.
Понятно, что и вероятности при этом изменятся.

 Профиль  
                  
 
 Re: Игра устройств.
Сообщение27.09.2017, 18:06 


15/03/11
137
atlakatl в сообщении #1251274 писал(а):
zhekas
Осталось найти платёж за ошибку Б, при котором игра справедливая.


$\sqrt2$

 Профиль  
                  
 
 Re: Игра устройств.
Сообщение27.09.2017, 18:12 
Аватара пользователя


21/09/12

1871
zhekas
Обожаю иррациональные ответы в простых задачах. Всё правильно.
А вероятности?

 Профиль  
                  
 
 Re: Игра устройств.
Сообщение27.09.2017, 18:14 


15/03/11
137
atlakatl в сообщении #1251279 писал(а):
zhekas
А вероятности?

$\frac{(2+\sqrt2)}{(3+2\sqrt2)}$

 Профиль  
                  
 
 Re: Игра устройств.
Сообщение27.09.2017, 18:28 
Аватара пользователя


21/09/12

1871
zhekas
Всё-то Вы знаете. Спасибо.
Ответ преобразуется к $p_{1,2}=2-\sqrt{2}$.
Как-то буднично всё закончилось. Часть решавших с методом так и не ознакомились. Стоит ли рассказать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Игра устройств.
Сообщение27.09.2017, 18:33 
Аватара пользователя


26/09/16
198
Снегири
Стоит

 Профиль  
                  
 
 Re: Игра устройств.
Сообщение27.09.2017, 20:07 
Аватара пользователя


21/09/12

1871
SVD-d
Для ускорения процесса и облегчения восприятия упрощу обозначения.
x - вероятность выдать 1 для А
y - вероятность выдать 1 для Б
a - плата за ошибку для Б
Построим функцию выигрыша для А. Предварительно вспомним, что вероятность выдать 2 - (1-x) и (1-y) соответственно.
Итак, есть 4 возможных исхода для каждой игры в серии: $(1;1), (1;2), (2;1), (2;2)$. Опишем прибыль от каждого из них.
$f(x)=a(x(1-y)+y(1-x))-xy-2(1-x)(1-y)$
Первое выражение это прибыль А: у А выпало 1, а у Б - 2. Ну и наоборот. Всё это умножаем на штраф a.
$xy$ это убыток, когда у обоих игроков 1, $2(1-x)(1-y)$ - когда у обоих 2.
Ну и замечаем, что x и y в функции равноправны, - т.е. они численно равны. - Чтоб не дублировать расчёты.
После преобразований получаем:
$f(x)=(a+2-(2a+3)x)y+ax-2$
Берём частные производные, получаем: $x=y=\frac{2+a}{3+2a}$ (1)
Так как мы предполагаем соорудить справедливую игру, приравниваем $f(x)=0$, заменяем x и y на их выражения через a по формуле (1), получая $a=\sqrt{2}$
Как видим, "разумное" представление, что $a=1,5$ и $x=y=0,5$ неверно, а верный ответ угадать не получится.

 Профиль  
                  
 
 Re: Игра устройств.
Сообщение27.09.2017, 21:50 


14/01/11
3064
atlakatl в сообщении #1251308 писал(а):
верный ответ угадать не получится.

Подумаешь, бином Ньютона. Это же среднее геометрическое. :-)

 Профиль  
                  
 
 Re: Игра устройств.
Сообщение28.09.2017, 10:03 


05/09/16
12114
atlakatl в сообщении #1251308 писал(а):
a - плата за ошибку для Б

А что это такое?

atlakatl в сообщении #1251308 писал(а):
Опишем прибыль от каждого из них.
$f(x)=a(x(1-y)+y(1-x))-xy-2(1-x)(1-y)$

Вероятно, имеется в виду $f(x,y)$ а не $f(x)$?

-- 28.09.2017, 10:04 --

atlakatl в сообщении #1251308 писал(а):
Ну и замечаем, что x и y в функции равноправны, - т.е. они численно равны.

Поясните пож-ста, что значит "равноправны" и как из этого следует "численно равны"?

 Профиль  
                  
 
 Re: Игра устройств.
Сообщение28.09.2017, 10:41 
Аватара пользователя


21/09/12

1871
$a$ единиц платит Б, если он ошибся в угадывании. В задаче $a=1,5$, в ответе $a=\sqrt{2}$.
wrest в сообщении #1251415 писал(а):
Вероятно, имеется в виду $f(x,y)$ а не $f(x)$?
Да.
wrest в сообщении #1251415 писал(а):
что значит "равноправны" и как из этого следует "численно равны"?
Если в функции выигрыша поменять x и y местами, функция не изменится. - Т.е. равноправны.
Насчёт "численно равны" я сморозил. Правильно сказать, что для каждой пары $(x_t, y_t)$ найдётся $(y_t, x_t)$

 Профиль  
                  
 
 Re: Игра устройств.
Сообщение28.09.2017, 11:04 


05/09/16
12114
atlakatl в сообщении #1251423 писал(а):
wrest в сообщении #1251415 писал(а):
Вероятно, имеется в виду $f(x,y)$ а не $f(x)$?
Да.

Тогда можно еще раз, допустим получилось что $f=0,7$, это чья прибыль? Что вообще такое эта $f$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Игра устройств.
Сообщение28.09.2017, 11:22 
Аватара пользователя


21/09/12

1871
wrest
Давайте обозначим их $f_{x}(x, y)$ и $f_{y}(x, y)$, чтоб не было путаницы. Это функции выигрышей. В данном случае они показывают, сколько выигрывают в среднем за одну игру А и Б соответственно. Положительные значения это выигрыш, отрицательные - убыток.
Понятно, что $f_{x}(x, y)=-f_{y}(x, y)$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Игра устройств.
Сообщение28.09.2017, 11:38 
Аватара пользователя


11/12/16
14039
уездный город Н
atlakatl в сообщении #1251433 писал(а):
Понятно, что $f_{x}(x, y)=-f_{y}(x, y)$.


Кстати, это непонятно. Согласно условию:
atlakatl в сообщении #1251081 писал(а):
Устройства А и Б независимо друг от друга формируют числа 1 или 2. Если числа совпадают, Б получает данное число единиц. Иначе А получает 1,5 единицы.

Неясно, эти "единицы" игроки получают от соперника или из воздуха. То есть игра с нулевым банком или нет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Игра устройств.
Сообщение28.09.2017, 11:45 
Аватара пользователя


21/09/12

1871
EUgeneUS
Игра с нулевым балансом.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 48 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group