Игра устройств.

[atlakatl]

Устройства А и Б независимо друг от друга формируют числа 1 или 2. Если числа совпадают, Б получает данное число единиц. Иначе А получает 1,5 единицы.
Найти оптимальную стратегию для А и Б.
Является ли игра справедливой? Если нет, то сколько единиц должно получать А, чтобы уравнять шансы?

[g______d]

atlakatl в сообщении #1251081 писал(а):

Найти оптимальную стратегию для А и Б.

Дайте математические определения

1) Стратегии.
2) Оптимальной стратегии.

[atlakatl]

1. Стратегия это правила действий для возможных ситуаций.
2. Оптимальная стратегия это правила, позволяющие получить максимальный результат при оптимальной игре соперника.

[g______d]

Это не математические определения. При этом от выбора конкретного математического определения, вообще говоря, зависит ответ. Я мог бы предположить, какое именно определение имеется в виду, но сформулировать математическую задачу -- ваша обязанность, а не моя.

[atlakatl]

g______d
Я ответил своими словами, никуда не заглядывая. Сейчас скопипастю откуда-нибудь...

Цитата:

В теории игр страте́гия игрока в игре или деловой ситуации — это полный план действий при всевозможных ситуациях, способных возникнуть. Стратегия определяет действие игрока в любой момент игры и для каждого возможного течения игры, способного привести к каждой ситуации.

Цитата:

Стратегия игрока называется оптимальной, если при многократном повторении игры она обеспечивает игроку максимально возможный средний выигрыш (минимально возможный средний проигрыш).

Не вижу большой разницы.
Вы утверждаете, что математических определений оптимальной стратегии больше одного. И главное, они дают разный результат.
Хотелось бы раскрытия этого тезиса на примере данной задачи.

[Dan B-Yallay]

atlakatl в сообщении #1251081 писал(а):

Устройства А и Б независимо друг от друга формируют числа 1 или 2. Если числа совпадают, Б получает данное число единиц. Иначе А получает 1,5 единицы.

Не совсем понятно: это однократный розыгрыш или идёт серия? Если однократный, то вроде сюда неприменимо определение оптимальной стратегии.

[atlakatl]

Dan B-Yallay
В снесённом за национализм посте я всё подробно расписал. Но его удалили. Потому повторюсь: серия игр.

[g______d]

atlakatl в сообщении #1251087 писал(а):

Вы утверждаете, что математических определений оптимальной стратегии больше одного.

Вообще говоря, да. Но эти рассуждения бессмысленны, пока вы хотя бы одно не приведёте. То, что вы скопипастили, таковым не является. Дайте определение «полного плана действий при всевозможных ситуациях» на языке множеств и отображений, а потом слова «оптимальный» на том же языке, а потом «в среднем». Это не так просто, как кажется.

[atlakatl]

g______d
Коль мы говорим об устройствах, то имеем ввиду предварительное задание вероятностей формирования 1 и 2 каждым из них. Таким образом, полная группа событий описывается двумя числами х и у: вероятности формирования 1 каждым из них.
Возможные изменения стратегии при обнаружении неоптимальной игры соперника я не рассматриваю, там трудноформализуемая модель получается...
Пока писал, Вы свой коммент изменили.
Потому продолжу.
Оптимальное задание вероятности для устройства позволяет получить максимальный выигрыш при оптимальной игре соперника. В теории игр это называется принципом минимакса.
"В среднем" прямо вытекает из задания вероятностей. На больших сериях они совпадают.

[worm2]

Для знакомых с теорией игр — это не олимпиадная задача, а учебная, я бы сказал.
Второй пункт — уравнение с параметром, тоже не ахти какой бином Ньютона

Для человека же неискушённого — ну да, тут можно сказать, что красивая задачка, потому что ответ неинтуитивный.

[atlakatl]

worm2
А куда тогда её помещать?
В ПРР не стоит: я с ней разобрался.

[worm2]

Тогда наверное, здесь ей самое место.
Пусть люди, не знакомые с техникой, попробуют порешать, удовольствие получат.
Для них можно уточнить, что в данном случае стратегия для каждого игрока — это одно число, вероятность $p_A$, $p_B$ (выбранное с самого начала, один раз на всю потенциально бесконечную игру), с которой он будет выдавать 1. С вероятностью соответственно $1-p_A$, $1-p_B$ игрок будет выдавать 2. Для каждого игрока оптимальная стратегия — это та вероятность, которая позволит ему получить (статистически) максимальный выигрыш (минимальный проигрыш), гарантированный (статистически) даже при самом неблагоприятном выборе своей вероятности противником, даже если противник знает нашу вероятность.

[wrest]

При случайном выборе единиц и двоек у А и Б в среднем ничья.
Я думаю, что А нужно перед каждым ходом вычислять вероятность того что Б выбросит единицу, и с этой вероятностью выбрасывать двойку.
Ну а Б наоборот, перед каждым ходом считать с какой вероятностью А выбросит единицу и с этой же вероятностью выбрасывать единицу.
В итоге мне кажется так, что получится, что А и Б оба выбрасывают единицы и двойки равновероятно и у них ничья.

[worm2]

Ну вот, процесс пошёл (не туда ).
wrest, А не знает, с какой вероятностью Б что-то выбрасывает.
Хотя можно, для начала, предположить, что чужие вероятности изначально известны обоим игрокам, и они просто тупо играют по своей стратегии (кидают кость, монетку и т.п.), никак не используя (сразу же забывая) информацию о предыдущих играх.

[SVD-d]

Могу предположить следующее.
Пускай мы программируем только одно из устройств, при этом никто не знает, как работает второе.
Если мы болеем за А, то нам хотелось бы, чтобы как можно большее число цифр было непохоже на число, выданное Б. Считаем, что Б выдаёт, допустим, единицу с вероятностью $p^{\text{Б}}_{1}$, и сами выдаём двойку с той же вероятностью $P^{\text{Б}}_{1}$. Остаётся только рассчитать эту величину.
На каждом шаге рассчитываем величину $p^{\text{Б}}_{1}$ как отношение числа выданных устройством Б единиц к общему числу шагов, с полученной вероятностью выдаём двойку.

Кажется, в худшем случае устройство А проиграет на четверть. То есть, Б получит $2 b^{\text{Б}}_{1} b^{\text{А}}_{1} + b^{\text{Б}}_{2} b^{\text{А}}_{2}$, а А получит $1.5 b^{\text{Б}}_{1} b^{\text{А}}_{2} + b^{\text{Б}}_{2} b^{\text{А}}_{1}$.

Но это не точно.

--
Исправлено

worm2 в сообщении #1251139 писал(а):

это одно число, вероятность $p_A$, $p_B$ (выбранное с самого начала, один раз на всю потенциально бесконечную игру)

Хотя, если так, то не получится.