Расширение функционала

[Spook]

Хм...
Общий вид линейного ограниченного функционала в $L_2$ в нашем двухмерном случае это $\sum\limits_{k=1}^{2}a_kx_k$. Норма функционала определяется (по крайней мере у нас) так:

$$||f||=\mathop{\sup}\limits_{||x||=1}|f(x)|$$

, то есть равна

$${\frac 1 \sqrt{a^2_1+a^2_2}}=\frac 1 {\sqrt{5}}$$

Echo-Off, если проецировать точки на прямую,то у меня получается такой функционал

$$f_1(x_1,x_2)=\frac {2x_1+x_2} 4$$

, его норма равна

$$\frac{\sqrt{5}}4$$

. Однако у функционала

$$f_2(x_1,x_2)=\frac {x_1+2x_2} 5$$

норма равна $\frac 1 {\sqrt{5}}$, то есть совпадает с исходной. Из того, что в $R^2$ продолжение исходного оператора единственно (это сейчас доказать не могу), следует. что ответ всетаки $f_2$. Хотя возможно где-то наврал
Bard наверное он и получается из этих соображений, я еще полностью не разобрался.
Профессор Снэйп ну исходный функционал линеен, а продолжить его наверно можно и до нелинейного.

[Echo-Off]

Spook писал(а):

то есть равна

$${\frac 1 \sqrt{a^2_1+a^2_2}}=\frac 1 {\sqrt{5}}$$

Что-то мне не нравится эта формула. Мне кажется, норма $f(x)=a_1x_1+a_2x_2$ равна $\|f\|=\max\{|a_1|,\,|a_2|\}$

[Spook]

Ну скорее всего это тоже норма, только в другом пространстве, кстати, интересно какую надо выбирать в евклидовом $R^2$.

[Бодигрим]

Цитата:

интересно какую надо выбирать в евклидовом $\mathbb{R}^2$.

В конечномерном пространстве вообще говоря безразлично, какую из норм выбрать.

[Echo-Off]

1) Если проецировать точки на прямую $x_2=2x_1$, то как раз и получается функционал $f(x_1,\,x_2) = \frac {x_0+2y_0}5$.

2) Пожалуй, я был неправ: норма функционала $f(x_1,\,x_2) = a_1x_1+a_2x_2$ равна $\sqrt{a_1^2+a_2^2}$.

[AD]

Echo-Off писал(а):

Что-то мне не нравится эта формула.

+1. Мне больше нравится $\|f\|_2=\sqrt{a_1^2+a_2^2}$ - мы же в евклидовом пространстве живем, и в сопряженном, соответственно, такая же норма.

Бодигрим писал(а):

В конечномерном пространстве вообще говоря безразлично, какую из норм выбрать.

Это с точки зрения топологии. А у нас задача совсем не топологическая.

[Spook]

Echo-Off а как вы проецировали? Я ортогонально. Точке с координатами $(x,y)$ соответствует точка на прямой с координатами $(\frac {y+2x} 4,\frac {y+2x} 2)$. Вы с этим согласны?

Добавлено спустя 9 минут 10 секунд:

Ой

Добавлено спустя 21 минуту 26 секунд:

координаты на прямой $(\frac {2y+x} 5,\frac {4y+2x} 5)$
Теперь берем первую координату и получаем функционал: $f(x,y)=\frac 2 5 x+\frac 1 5 y$, его норма равна как я уже считал

$$\frac 1 {\sqrt{5}}$$

. Осталось посчитать норму исходного оператора и доказать единственность такого продолжения.
Норма исходного оператора посчитана в пердыдущем сообщении и совпадает с полученной. Вопрос единственности такого продолжения пока открыт. Наверное все-таки придется применять теорему Рисса.

[ewert]

Чего-то я не понял глубокого философского смысла дискуссии.
Функционал имеет вид $f(x,y)=ax+by$. На прямой $\{y=2x\}$ он должен давать $ax+b\cdot 2x\equiv x$, это -- одно уравнение на коэффициенты. Норма такого функционала вообще есть $\sqrt{a^2+b^2}$ (и никакая даже это не теорема Рисса), а на прямой, натянутой на вектор $(1;2)$, норма откровенно равна ${1\over\sqrt5$; это даёт второе уравнение.
Решаем системку и находим единственное решение:

$$f(x,y)={x+2y\over5}$$

. Вот и всё.

Добавлено спустя 42 минуты 36 секунд:

А на геометрическом языке (более сознательном) будет так. Любой функционал в любом подпространстве можно задать как

$$f(\vec r)=(\vec u_{||},\vec r)$$

, где

$$\vec u_{||}$$

-- некоторый вектор из этого подпространства. У нас

$$\vec u_{||}=\frac15(1;2)$$

: подпространство -- одномерно, поэтому

$$\vec u_{||}$$

пропорционален (единственному) базисному вектору, а коэффициент пропорциональности однозначно определяется линейным требованием, предъявленным к функционалу. Далее, все возможные расширения этого функционала описываются как

$$f(\vec r)=(\vec u,\vec r)$$

, где

$$\vec u=\vec u_{||}+\vec u_{\perp}$$

и

$$\vec u_{\perp}$$

-- произвольный вектор из ортогонального дополнения. Для сохранения нормы необходимо

$$\vec u_{\perp}=\vec 0$$

, т.к. иначе норма функционала

$$\Vert f\Vert=\sqrt{\Vert\vec u_{||}\Vert^2+\Vert\vec u_{\perp}\Vert^2}$$

окажется выше.

[Spook]

ewert ну теперь я думаю, вопрос окончательно решен.
Всем спасибо за "дискуссию"