Расширение функционала

[Spook]

На плоскости с евклидовой нормой рассмотрим такое подпространство пар, что $2x=y$. На нем задан функционал $<f,(x,y)> =x$. Продолжить его на всю плоскость с сохранением нормы.
Задачка какая-то непонятная, есть идея что надо просто прямую отобразить на плоскость, но как то необоснованно .

[Echo-Off]

Берём любую точку $(x_0,\,y_0)$, проецируем её на прямую $y=2x$, от полученной точки берём $f$ (равный абсциссе этой точки).

[Spook]

А ничего страшного, что здесь не взаимно однозначное отображение?

Добавлено спустя 1 минуту 12 секунд:

хотя я сглупил оно не обязано таким быть, спасибо!

[Spook]

Echo-Off, оказалось что этот вариант не подходит, так как он не сохраняет норму:

$$f(x_1,x_2)=\frac {x_1+2x_2} 4$$

, откуда

$$||x||^2=(\frac 1 2,\frac 1 4)=\frac {\sqrt{5}} 4$$

. Изначально же была норма равная 1.

[Brukvalub]

А что такое норма функционала?

[AD]

Ну то есть задачка - это иллюстрация к теореме Хана--Банаха.

P.S.

Spook писал(а):

откуда

$$||x||^2=(\frac 1 2,\frac 1 4)=\frac {\sqrt{5}} 4$$

. Изначально же была норма равная 1.

Смешно. Так у любого не-совсем-уж-нулевого функционала на плоскости найдутся два вектора единичной длины, на которых у него разные даже по модулю значения. Скажем, всегда ядро ненулевое есть. Поразбирайтесь в определениях

[Bard]

Spook
Почему бы не воспользоваться теоремой Рисса. Любой линейный функционал в

\[ R^2 \]

можно представить в виде скалярного произведения

\[ \left( {a,\,x} \right) = \;a_1 x_1 + \;a_2 x_2 ,\;\;x = \;\left( {x_1 ,\,x_2 } \right) \in \;R^2 ,\;a = \;\left( {a_1 ,\,a_2 } \right) \in \;R^2 . \]

Условие задачи накладывает ограничение на вектор

\[ a = \;\left( {a_1 ,\,a_2 } \right):\;a_1 + \,2\,a_2 = \;1. \]

Поэтому всевозможные линейные продолжения заданного функционала имеют вид

\[ f\left( x \right) = \,\left( {1 - \,2\,a_2 } \right)\,x_1 + \,a_2 \,x_2 . \]

Далее, можно выбрать значение параметра

\[ a_2 \]

, при котором у функционала будет наименьшая норма (единица). Получите функционал, о котором писал Echo-Off.

[Профессор Снэйп]

Bard писал(а):

Любой линейный функционал в

\[ R^2 \]

можно представить в виде...

Да тут в условии вроде не сказано, что функционал должен быть линейным.

[AD]

Но можно и линейным сделать ...

[Профессор Снэйп]

AD писал(а):

Но можно и линейным сделать ...

Это как?

[AD]

Ну в смысле линейный функционал всегда можно продолжить до линейного. По теореме Хана--Банаха. А функционал, который мы продолжаем, очевидно, линейный.

[Bard]

Профессор Снэйп.
Что такое норма нелинейного функционала? В условии задачи просят продолжить функционал с сохранением нормы.

[Профессор Снэйп]

Bard писал(а):

Профессор Снэйп.
Что такое норма нелинейного функционала? В условии задачи просят продолжить функционал с сохранением нормы.

Определение

$$ \| f \| = \sup \{ |f(x)| : \| x \| = 1 \} $$

имеет смысл для произвольного $f$. Хотя, конечно, если $f$ не линеен, то смысла в этом определении немного.

[Dan B-Yallay]

Профессор Снэйп писал(а):

Bard писал(а):

Профессор Снэйп.
Что такое норма нелинейного функционала? В условии задачи просят продолжить функционал с сохранением нормы.

Определение

$$ \| f \| = \sup \{ |f(x)| : \| x \| = 1 \} $$

имеет смысл для произвольного $f$. Хотя, конечно, если $f$ не линеен, то смысла в этом определении немного.

Для произвольного функционала наверное должно быть так:

$$ \| f \| = \sup \{ \frac{|f(x)|}{\| x\|} : x \in X , x\ne 0\} $$

( хотя не уверен).

Если функционал линеен, тогда норма $\| x\|$ заносится под функционал и получется как раз предыдущая формула.

[Профессор Снэйп]

Если бы мне дали задание определить норму произвольного функционала, то я бы, наверное, положил её равной

$$ \| f \| = \sup \left\{ \frac{|f(x)-f(0)|}{\|x\|} : x \in X,\, x \neq 0 \right\} $$

На мой взгляд это лучше, чем то, что было в двух предыдущих попытках (моей и Dan B-Yallay).