Чёртово колесо

[dovlato]

В чёртовом колесе чёрт заставил кабинки оставаться постоянно в вертикальном положении.
Какова допустимая угловая скорость вращения колеса $\omega$, при которой ещё не будет выпадений тел,
если радиус колеса $R$, а коэффициент трения $k$?

[StaticZero]

dovlato в сообщении #1250199 писал(а):

коэффициент трения

Что по чему трётся?

[Munin]

Какой-такой коэффициент трения?

[dovlato]

Значит, тело находится на горизонтальном полу кабины. Повторю - пол по условию задачи всё время остаётся горизонтальным.
А сама кабина совершает поступательное движение, описывая вместе с колесом окружность (все точки кабины описывают, ес-нно, одинаковые окружности).
Ежли колесо раскрутить слишком сильно, то тело, стоящее на полу, начнёт скользить. Вопрос - при какой омеге это скольжение начнётся.
Признаюсь, задача даже и не моя. Она - в числе олимпиадных задач, в одной школьной олимпиаде (она вывешена в Вашем Репетиторе).
И оценена авторами тем же числом баллов, что и остальные. Тогда как, на мой взгляд, она от них отличается тем, что не вполне тривиальна.
Возможно, авторы этого просто не заметили. Кстати, там же есть и ещё задача, по поводу которой у нас там произошло что-то вроде дискуссии.

[Munin]

В нормальных кабинах, даже если тело скользит по полу, оно не выпадет, потому что в кабине есть стенки.

Вам стоило бы написать условия внятнее и с самого начала. Возможно, с рисунком.

-- 24.09.2017 12:54:41 --

dovlato в сообщении #1250247 писал(а):

Тогда как, на мой взгляд, она от них отличается тем, что не вполне тривиальна.

А по-моему, вполне тривиальна. И допускает ваше любимое геометрическое решение.

[warlock66613]

Что-то я никак не соображу, что же в этой задаче нетривиального.

[dovlato]

Ну может быть и тривиальна. Кстати, если колесо положить плашмя - по сути, сделать карусель - то ответ уже другой.

[Munin]

Очевидно.

[dovlato]

Ну да, для Munin. Не уверен, что и для тамошних авторов тоже. А уж для многих преподавателей физики, уверяю вас - тем более.
Там была ещё задача, в некорректности которой я уверен.
"В вертикальном теплоизолированном цилиндре под тяжёлым
подвижным поршнем находится одноатомный идеальный газ,
занимающий объём V. На поршень ставят груз, имеющий массу
вдвое большую, чем масса поршня. Найдите объём газа в новом
положении равновесия. Давлением над поршнем и трением поршня
о стенки цилиндра можно пренебречь."
Некорректность, на мой взгляд - в том, что ничего не сказано, как именно ставят дополнительный груз.
Если его "придерживают рукой", то ответ будет один. А если его просто отпустить, предоставив падать вместе с поршнем - то другой.
Причём во втором случае, я думаю, будут незатухающие колебания. Со мной там не согласились.
Было даже такое мнение, что "энтропия газа будет постоянно расти".

[Munin]

dovlato в сообщении #1250271 писал(а):

Ну да, для Munin. Не уверен, что и для тамошних авторов тоже. А уж для многих преподавателей физики, уверяю вас - тем более.

Ну уж, для школьных олимпиад это гоже максимум для 8 класса.

В чём лично вы видите трудности в этой задаче? Раз уж вы сочли её неочевидной.

-- 24.09.2017 14:21:17 --

dovlato в сообщении #1250271 писал(а):

Если его "придерживают рукой", то ответ будет один. А если его просто отпустить, предоставив падать вместе с поршнем - то другой.
Причём во втором случае, я думаю, будут незатухающие колебания.

А в задаче сказано "в новом положении равновесия". Это нивелирует ваши замечания. (Колебания всё-таки затухнут, и это произойдёт быстрее, чем охлаждение газа, в этом смысле задача корректная и как раз очень физическая.)

[dovlato]

Munin в сообщении #1250276 писал(а):

dovlato в сообщении #1250271 писал(а):

Ну да, для Munin. Не уверен, что и для тамошних авторов тоже. А уж для многих преподавателей физики, уверяю вас - тем более.

Ну уж, для школьных олимпиад это гоже максимум для 8 класса.

В чём лично вы видите трудности в этой задаче? Раз уж вы сочли её неочевидной.

Мой ответ $\omega^2=\frac{g}R\frac{k}{\sqrt{1+k^2}}$

-- Вс сен 24, 2017 15:26:36 --

А за счёт чего будет "охлаждение газа"?? Если ставить груз, придерживая рукой, то энергия системы "груз+поршень+газ" падает.
Если отпустить свободно - она останется постоянной. Вот это уж действительно очевидно.

[warlock66613]

dovlato в сообщении #1250257 писал(а):

Кстати, если колесо положить плашмя - по сути, сделать карусель - то ответ уже другой.

Во, вот что значит в этой задаче нетривиального — надо догадаться, что за конструкция подразумевается под "чёртовым колесом". Я-то как раз представил себе горизонтальную конструкцию.

[dovlato]

И я не вижу, за счёт чего колебания (в идеальной модели) могли бы прекратиться.
А положение равновесия (которое поршень проходил бы по инерции) было бы в ней выше того, которое получалось бы при мягком медленном опускании груза.

[dovlato]

Я как будто понял, каким образом задача может быть решена в рамках школьной математики.
Пусть начальная масса поршня была $m$; затем, вместе с поставленным грузом, она становится равной $\alpha m$, где $\alpha$ - заданное число. Груз аккуратно ставится на поршень – и тут же отпускается, так что далее движение поршня с грузом происходит свободно.
Возникают колебания. Несмотря на идеальную теплоизоляцию, через достаточно продолжительное время эти колебания не сохранят свой первоначальный вид. Дело в том, что в термодинамической системе (груз и поршень+газ) движение поршня есть всего лишь одна из $3N+1$ степеней свободы, где $N$ - число атомов газа. Когда система наконец придёт в термодинамическое равновесие, на эту степень свободы, так же как и на любую другую, останется энергия $\frac32 kT$ , то есть она практически исчезнет.
Таким образом, вся энергия первоначальных колебаний перейдёт в тепловую энергию газа. Он нагреется. Отсюда, в частности, становится ясно, что если бы груз ставился замедленно, так, чтобы избежать колебаний поршня – то, поскольку энергия системы была бы меньшей, газ имел бы более низкую равновесную температуру, а следовательно, положение равновесия поршня было бы ниже.
Возвращаемся к первому варианту. Допустим, первоначальная высота нижней грани поршня была равна $h_0$, а установившаяся равновесная $h$ . Запишем уравнение энергетического баланса

$$\apha mg(h_0-h)=\frac32(pV-p_0V_0)$$

где $V_0$ - начальный объём газа. Очевидно, что

$$h/h_0=V/V_0=\beta$$

где $\beta$ следует определить. Так как $p=\alpha p_0$, то после подстановки получаем

$$\beta=\frac15 \left(2+\frac3{\alpha}\right)$$

Всё бы ничего, но озадачивает то, что при как угодно большом $\alpha$, то есть большом грузе - получается, что конечный объём почему-то будет составлять не меньше 2/5 от начального значения. Я этого не могу объяснить.

[mihiv]

Если задача для школьников, то авторы, скорее всего, имеют в виду второй случай: т.е. груз ставят и отпускают, и после этого энергия колебаний переходит во внутреннюю энергию газа. Чтобы перевести энергию колебаний в тепло можно, например, поместить внутри поршня небольшой резиновый шарик, не абсолютно упругий (но это , правда, равносильно введению силы трения).

В первом же случае (когда дополнительный груз придерживают), задача решается с помощью уравнения адиабаты, которое школьники знать не обязаны.