Несчетных множеств не существует?

[Brukvalub]

Есть аксиоматическое определение поля действительных чисел, есть несколько моделей этого поля, есть т. Кантора о несчетности множества действительных чисел, все это проходят в сентябре на 1-м курсе математических факультетов университетов. При чем здесь "непредставимые" пучки прямых?
Дайте определение "непредставимости", и доказательство того, что что-то там "непредставимо".

[Mikhail_K]

granit201z, Ваши рассуждения не очень внятные. Но я правильно понял, что Вы думаете, будто для любой точки плоскости найдутся две проходящие через неё прямые, каждая из которых проходит также через две точки с координатами из счётного множества?
Если Вы так думаете, то это просто неверно. И на ошибку Вам уже указали:

granit201z в сообщении #1249876 писал(а):

Т.к. пучок прямых - это по сути вся плоскость, то в любом пучке найдутся хотя бы две прямые $OB$ и $OC$, каждая из которых будет проходить через две целочисленные точки, ну или через рациональные, или другие, представляющие собой пару точек из счетного множества.

Xaositect в сообщении #1249881 писал(а):

Нет. Если точка пересечения имеет иррациональные координаты, то любая прямая пучка, кроме, может быть, одной исключительной прямой, содержит максимум одну точку с рациональными координатами.

(Это замечание Xaositect останется справедливым, если Вы замените здесь рациональные числа на какое-нибудь другое счётное подмножество $\mathbb{R}$: на алгебраические, вычислимые или ещё какие-нибудь "представимые").

Далее.

granit201z в сообщении #1249927 писал(а):

Либо несчетные множества невозможны, либо существуют "непредставимые" пучки прямых, т.е. такие, в которых ни одна прямая не может быть задана, или может быть задана только одна прямая на весь пучок.

Да, существуют "непредставимые пучки прямых" в Вашей терминологии. Такие, в которых либо ни одна прямая не проходит через две точки с координатами из заранее выбранного счётного множества, либо такая прямая только одна.

Замечу, что такие фундаментальные результаты, как существование несчётных множеств, проверялись математиками такое огромное количество раз, что не стоит надеяться их опровергнуть. Лучше надеяться на другое: что, прочитав нужные книжки и прорешав задачи, Вы сможете проследить доказательства этих результатов шаг за шагом и самостоятельно убедиться, что они верны.

[granit201z]

Brukvalub в сообщении #1249931 писал(а):

Дайте определение "непредставимости"

Mikhail_K в сообщении #1249800 писал(а):

- если у нас есть конечное или счётное множество допустимых операций, и мы можем применять их любые конечные комбинации к натуральным числам (например, конструируя число вроде $\frac{\ln\sin 1}{2^{\sqrt{2}}}$) - то так мы не сможем получить все действительные числа, а только числа из некоторого счётного подмножества $\mathbb{R}$;
- если мы получаем действительное число из натурального при помощи какого-то алгоритма, возможно бесконечно длинного, но допускающего конечную запись (эта формулировка требует уточнения; например, имеются в виду бесконечные ряды с общим членом, заданным формулой) - то так мы тоже не сможем получить все действительные числа, а только числа из некоторого счётного подмножества $\mathbb{R}$.

Mikhail_K в сообщении #1249800 писал(а):

Из всего $\mathbb{R}$ нам доступна только крохотная часть. Только небольшое счётное множество чисел мы можем как-то получить, как-то записать нашими формулами. Но это не значит, что остальные числа не существуют: они существуют, просто мы не можем их представить никакой формулой и никаким описанием.

Можно, конечно, посидеть и обточить написанное до "красивого" вида определения, но это излишне, т.к. суть "непредставимости" ясна и из написанного.

Brukvalub в сообщении #1249931 писал(а):

доказательство того, что что-то там "непредставимо".

Множество, полученное декартовым произведением счетных множеств и само будет счетно.
Множество символов - счетно
Континуальность множества действительных чисел доказана.
Между счетным и континуальным множеством не может быть установлена биекция.
Между множеством, записанных символами чисел, например, $1$; $1/3$; $\sqrt{2}+1/3$ и т.д. с одной стороны и континуальным множеством действительных чисел не может быть установлена биекция.
Следовательно некоторое подмножество множества действительных чисел не может быть представлена никакими символами

[Sender]

granit201z в сообщении #1249952 писал(а):

Можно, конечно, посидеть и обточить написанное до "красивого" вида определения, но это излишне, т.к. суть "непредставимости" ясна и из написанного.

Если вам она ясна, то выписать строгое определение не составит большого труда, не так ли?

[Brukvalub]

granit201z в сообщении #1249952 писал(а):

Между множеством, записанных символами чисел, например, $1$; $1/3$; $\sqrt{2}+1/3$ и т.д. с одной стороны и континуальным множеством действительных чисел не может быть установлена биекция.

Есть модель действительных чисел, в которой каждое действительное число записывается символами: "бесконечные десятичные дроби".
Поэтому утверждение

granit201z в сообщении #1249952 писал(а):

Следовательно некоторое подмножество множества действительных чисел не может быть представлена никакими символами

является ложным.

[granit201z]

Sender в сообщении #1249954 писал(а):

Если вам она ясна, то выписать строгое определение не составит большого труда, не так ли?

"непредставимость числа" - невозможность записи числа ни конечной, ни бесконечной комбинацией символов для "предоставления (представления)" его к операциям с другими числами.

[Brukvalub]

granit201z в сообщении #1249952 писал(а):

Можно, конечно, посидеть и обточить написанное до "красивого" вида определения, но это излишне, т.к. суть "непредставимости" ясна и из написанного.

Мне суть "непредставимости" из написанного выше осталась неясной. На уровне "поболтаем, и все прояснится" математики не общаются. Чтобы продолжать разговор, нужно точное определение "непредставимости". Пока же тема достойна "Пургатория", и не пора ли ей туда отправляться?

-- Сб сен 23, 2017 12:10:01 --

granit201z в сообщении #1249961 писал(а):

"непредставимость числа" - невозможность записи числа ни конечной, ни бесконечной комбинацией символов для "предоставления (представления)" его к операциям с другими числами.

Так выше я написал, что есть модель поля действительных чисел, в которой каждое число записывается "бесконечной комбинацией символов для "предоставления (представления)" его к операциям с другими числами". Так что несчетные множества существуют, а ваше определение "непредставимости" "кривое".

[granit201z]

Brukvalub в сообщении #1249963 писал(а):

Так выше я написал, что есть модель поля действительных чисел, в которой каждое число записывается "бесконечной комбинацией символов для "предоставления (представления)" его к операциям с другими числами". Так что несчетные множества существуют, а ваше определение "непредставимости" "кривое".

В этой "модели" устанавливается биекция между счетным и несчетным множеством. Следовательно мощности этих множеств равны

[Mikhail_K]

granit201z в сообщении #1249961 писал(а):

"непредставимость числа" - невозможность записи числа ни конечной, ни бесконечной комбинацией символов для "предоставления (представления)" его к операциям с другими числами.

Здесь Вы ошибаетесь. Бесконечной комбинацией символов любое действительное число, очевидно, представить можно (бесконечной дробью). Посмотрите мои нестрогие формулировки, на которые Вы уже ссылались - там я говорю осторожнее.

А вообще, наверное, Вам стоит почитать про вычислимые, а может, и про арифметические числа. Про них как раз соседняя тема, там и ссылки приводятся.

-- 23.09.2017, 12:28 --

Здесь дело в том, что хотя любое действительное число записывается бесконечным количеством символов, но для большинства действительных чисел нет алгоритма, позволяющего выписать все цифры этого числа одну за другой.

[granit201z]

Mikhail_K в сообщении #1249967 писал(а):

Бесконечной комбинацией символов любое действительное число, очевидно, представить можно (бесконечной дробью)

Ну тогда над этой моделью можно "поупражняться в фантазии" и представить любое действительное число в виде бесконечного двоичного числа (не дробного) - последовательность 4-х местных байтов двоичных битов. Этого даже более чем достаточно, т.к. $16>13$. Т.е. бесконечным целым числом.

Для таких штук мне кажется алгоритмы представления проще находить будет

[Mikhail_K]

granit201z, и здесь мы снова возвращаемся к Вашему первому сообщению в этой теме?
Непонятно, что Вы хотите доказать. В самом деле, действительные числа представляются в виде бесконечных последовательностей цифр любой системы счисления - хоть двоичной, хоть десятичной. Можно эти последовательности представлять как некие несуществующие "бесконечные целые числа" - но тогда мощность множества этих "бесконечных целых" (равно как и мощность $\mathbb{R}$, равно как и мощность множества последовательностей нулей и единиц) будет континуум.

Про $16>13$ не понял.

Похоже, обсуждение пошло по кругу и тему скоро в самом деле отправят в Пургаторий.

[granit201z]

Mikhail_K в сообщении #1249979 писал(а):

granit201z, и здесь мы снова возвращаемся к Вашему первому сообщению в этой теме?
Непонятно, что Вы хотите доказать. В самом деле, действительные числа представляются в виде бесконечных последовательностей цифр любой системы счисления - хоть двоичной, хоть десятичной. Можно эти последовательности представлять как некие несуществующие "бесконечные целые числа" - но тогда мощность множества этих "бесконечных целых" (равно как и мощность $\mathbb{R}$, равно как и мощность множества последовательностей нулей и единиц) будет континуум.

Я понял уже про континуум. Я не пытаюсь сейчас доказать что такие множества не возможны к существованию

Mikhail_K в сообщении #1249979 писал(а):

Про $16>13$ не понял.

$16$ - это число значений воспроизводимых 4-х местным двоичным байтом

$13$ - это число символов, достаточных для составления любого действительного числа в модели бесконечных десятичных дробей$\left\lbrace+, -, . , 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9\right\rbrace$

[Mikhail_K]

granit201z в сообщении #1249984 писал(а):

13 - это число символов, достаточных для составления любого действительного числа $+, -, . , 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9$

Ну, можно сразу действительные числа в двоичной системе записывать. И знак $+$ опускать, если число положительное. Наверное можно и ещё "оптимизировать" запись как-нибудь.

granit201z в сообщении #1249984 писал(а):

Я не пытаюсь доказать что такие множества не возможны к существованию

Хорошо. Но не стоит выкладывать на форум какие-то свои смутные идеи. Пишите, если у Вас есть конкретный вопрос, который нужно обсудить.

[arseniiv]

granit201z в сообщении #1249974 писал(а):

Т.е. бесконечным целым числом.

Так «бесконечных целых чисел», если под ними имеются в виду бесконечные последовательности $\mathbb N\to\{0,\ldots,9\}$, уже несчётное множество (добавление знака ничего не поменяет, объединение двух равномощных бесконечных множеств имеет ту же мощность).

[granit201z]

Mikhail_K в сообщении #1249986 писал(а):

Хорошо. Но не стоит выкладывать на форум какие-то свои смутные идеи. Пишите, если у Вас есть конкретный вопрос, который нужно обсудить.

Ок. Я Вас понял. Спасибо за диалог.