2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки


Правила форума


В раздел Пургаторий будут перемещены спорные темы (преимущественно псевдонаучного характера), относительно которых администрация приняла решение о нецелесообразности продолжения дискуссии.
Причинами такого решения могут быть, в частности: безграмотность, бессодержательность или псевдонаучный характер темы, нарушение автором принципов ведения дискуссии, принятых на форуме.
Права на добавление сообщений имеют только Модераторы и Заслуженные участники форума.



Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.
 
 Re: Несчетных множеств не существует?
Сообщение22.09.2017, 09:52 


12/03/17
686
Можно несколько переформулировать:

Множество всех возможных приближений всех бесконечнозаписываемых чисел является счетным множеством

 Профиль  
                  
 
 Re: Несчетных множеств не существует?
Сообщение22.09.2017, 09:58 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


18/01/13
12065
Казань
А что такое "приближение"? Как вы понимаете это слово?

В каком-то смысле это так, только наоборот: числами из счетного множества (рациональными, например) можно "приблизить" любое вещественное. Тут "приблизительность" описывается с помощью "расстояния" между точами. Но к мощности множеств расстояние не имеет отношения, это совсем другое понятие.

 Профиль  
                  
 
 Re: Несчетных множеств не существует?
Сообщение22.09.2017, 10:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Это понятие, кстати, называется сепарабельностью.

 Профиль  
                  
 
 Re: Несчетных множеств не существует?
Сообщение22.09.2017, 10:02 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4846
granit201z в сообщении #1249671 писал(а):
Множество всех возможных приближений всех бесконечнозаписываемых чисел является счетным множеством
Это очень кривая формулировка, но она похожа на одну правильную, и хорошо известную в математике. Вместо "множество действительных чисел счётное" правильно говорить так:

"В пространстве $\mathbb{R}$ действительных чисел есть счётное всюду плотное множество" (или, что то же самое: "пространство $\mathbb{R}$ сепарабельно").
Это значит, что, хотя множество действительных чисел и несчётно, каждое действительное число можно сколь угодно точно приблизить числами из счётного множества. В качестве такого счётного множества можно взять, например, множество конечных десятичных дробей. Или множество рациональных чисел.

-- 22.09.2017, 10:05 --

P.S. provincialka и Xaositect меня опередили)
Про всюду плотные множества и сепарабельность Вы можете прочитать в учебнике Колмогорова-Фомина, который Вам уже посоветовали в Вашей предыдущей теме. Только уже во второй главе, а не в первой.

-- 22.09.2017, 10:08 --

Важно ещё, что для определения мощности нужно иметь только само множество, а для того чтобы говорить о всюду плотности или сепарабельности, на множестве нужно иметь специальную структуру - например метрику. Потому что для множеств без каких-либо дополнительных структур непонятно, что значит "сколь угодно точно приблизить".

 Профиль  
                  
 
 Re: Несчетных множеств не существует?
Сообщение22.09.2017, 10:32 


12/03/17
686
Mikhail_K в сообщении #1249677 писал(а):
на множестве нужно иметь специальную структуру - например метрику


я думаю, можно и без метрики (я понимаю это как длина отрезка, хотя, возможно, неправильно понимаю) обойтись. например, "число" "абдеек" одинаково близко к числам "абдеей" и "абдеел" но дальше от числа "абдеем".

-- 22.09.2017, 10:37 --

Т.е. чем больше ячеек слева направо заполнены одинаково у двух сравниваемых "чисел", тем точнее они друг к другу приближены. И этого вполне достаточно для того, чтобы определить точность приближения чисел.

 Профиль  
                  
 
 Re: Несчетных множеств не существует?
Сообщение22.09.2017, 10:50 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4846
granit201z в сообщении #1249680 писал(а):
Т.е. чем больше ячеек слева направо заполнены одинаково у двух сравниваемых "чисел", тем точнее они друг к другу приближены
В этом подходе мне не нравится то, что смешиваются сами объекты - числа - и их десятичная запись.

Но есть и более серьёзное возражение. Вот, у чисел $0.9999$ и $1$ вообще нет "одинаково заполненных ячеек", но они довольно близки. Хотя этот вопрос решается соглашением, что у числа $1.000\dots$ есть эквивалентная запись $0.999\dots$, т.е. это две разных записи одного и того же числа. Поэтому у чисел $0.9999$ и числа $1=0.999\dots$ всё же есть "одинаково заполненные ячейки".

 Профиль  
                  
 
 Re: Несчетных множеств не существует?
Сообщение22.09.2017, 10:55 


21/05/16
4292
Аделаида
granit201z в сообщении #1249599 писал(а):
0 - 0.0
1 - 0.1
2 - 0.2
3 - 0.3
4 - 0.4
5 - 0.5
6 - 0.6
7 - 0.7
8 - 0.8
9 - 0.9
10 - 0.01
11 - 0.11
12 - 0.21
13 - 0.31
14 - 0.41
15 - 0.51
16 - 0.61
17 - 0.71
18 - 0.81
19 - 0.91
20 - 0.02
21 - 0.12
22 - 0.22
23 - 0.32
24 - 0.42
...
100 - 0.001
101 - 0.101
102 - 0.201
103 - 0.301
104 - 0.401
...

А на каком месте у вас будет стоять число $\frac1{\pi}$?

 Профиль  
                  
 
 Re: Несчетных множеств не существует?
Сообщение22.09.2017, 11:41 


12/03/17
686
kotenok gav в сообщении #1249685 писал(а):
А на каком месте у вас будет стоять число $\frac1{\pi}$?


Аналогичный вопрос был с $1/3$. Само это число достигнуто не будет ввиду бесконечности его записи, но все возможные его приближения будут стоять каждое на своем месте (в соответствии с назначенными правилами расстановки) и встречаться только единожды.

 Профиль  
                  
 
 Re: Несчетных множеств не существует?
Сообщение22.09.2017, 11:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4846
Вот именно. А чтобы говорить о счётности множества, занумеровать надо все его элементы. Причём нормальными "конечными" натуральными числами. Вы же показали не счётность, а сепарабельность $\mathbb{R}$.

"Все возможные приближения" - на самом деле говорить тоже не очень корректно, ведь число $1/3$ можно приближать не только конечными дробями. Число $1/3+\sqrt{2}/1000000$ тоже будет приближением для $1/3$, но не встретится в Вашем списке. Точнее сказать так:
Mikhail_K в сообщении #1249677 писал(а):
Это значит, что, хотя множество действительных чисел и несчётно, каждое действительное число можно сколь угодно точно приблизить числами из счётного множества. В качестве такого счётного множества можно взять, например, множество конечных десятичных дробей. Или множество рациональных чисел.

 Профиль  
                  
 
 Re: Несчетных множеств не существует?
Сообщение22.09.2017, 13:39 


12/03/17
686
Mikhail_K в сообщении #1249696 писал(а):
ведь число $1/3$ можно приближать не только конечными дробями. Число $1/3+\sqrt{2}/1000000$ тоже будет приближением для $1/3$


Очень смутная мысль забрезжила в голове после этих слов. Возможно не очень грамотно и корректно, но я все же попытаюсь ее выразить.
Действительное число $1/3$ без каких бы то ни было проблем 100% точно выражено элементами двух счетных множеств. Первое из них - множество целых чисел (соответственно элементы $1$ и $3$, а второе - множество n-арных операций (соответственно элемент $/$. Для $\sqrt{2}$ соответственно $2$, $2$ и $\sqrt{}$. Ну а "геометрическая близость" это так сказать близость по операциям $+$ и $-$ (но в принципе, "соседство" можно рассматривать по любым операциям и тогда у одних и тех же чисел будут совершенно разные "соседи"). Соответственно каждая n-ка целых (хотя наверное даже натуральных) чисел дает возможность "перепрыгнуть" на любое другое число из множества действительных. А проблемы "приближения" связаны только с тем, что для него используется только $/$, а эта операция в свою очередь не позволяет исчерпывающим образом пройтись по всем действительным числам на основании только целых.

 Профиль  
                  
 
 Re: Несчетных множеств не существует?
Сообщение22.09.2017, 13:57 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


26/01/14
4846
granit201z в сообщении #1249726 писал(а):
Очень смутная мысль забрезжила в голове после этих слов. Возможно не очень грамотно и корректно, но я все же попытаюсь ее выразить.
Понять то, что Вы здесь написали, очень затруднительно - и у меня не получилось.
Может, всё-таки вначале почитаете учебники вместо придумывания новых велосипедов с квадратными колёсами?

На всякий случай уточню, что среди действительных чисел только малая часть могут быть получены из натуральных с помощью комбинаций некоторого набора стандартных операций, таких как деление, извлечение корня и т.д.

Если у нас есть конечный или даже счётный набор операций и мы будем применять к натуральным числам всевозможные конечные комбинации операций из этого набора, то мы получим таким образом не все действительные числа, а только принадлежащие некоторому счётному подмножеству $\mathbb{R}$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Несчетных множеств не существует?
Сообщение22.09.2017, 14:00 


14/01/11
3042
granit201z
, как вы намерены выразить число $\pi$, например? Ну и, откровенно говоря, мысль, на мой взгляд всё-таки слишком смутная. :-)
Вообще, вы знакомы с доказательством теоремы Кантора о несчётности множества точек отрезка? Вы считаете его неверным, можете указать на ошибки?

 Профиль  
                  
 
 Re: Несчетных множеств не существует?
Сообщение22.09.2017, 14:19 


12/03/17
686
Sender в сообщении #1249733 писал(а):
как вы намерены выразить число $\pi$, например?

Формула Валлиса или Ряд Лейбница. Судя по википедии там все построено на натуральных числах и простых операциях. Все это - элементы счетных множеств

-- 22.09.2017, 14:21 --

Mikhail_K в сообщении #1249731 писал(а):
Если у нас есть конечный или даже счётный набор операций и мы будем применять к натуральным числам всевозможные конечные комбинации операций из этого набора, то мы получим таким образом не все действительные числа, а только принадлежащие некоторому счётному подмножеству $\mathbb{R}$.

А конечность комбинаций на бесконечных множествах разве обязательное условие?

-- 22.09.2017, 14:23 --

Хотя, возможно, Вы и правы. Мне нужно подумать, чтобы что-то ответить

-- 22.09.2017, 14:41 --

Mikhail_K в сообщении #1249731 писал(а):
Может, всё-таки вначале почитаете учебники вместо придумывания новых велосипедов с квадратными колёсами?

Sender в сообщении #1249733 писал(а):
Вообще, вы знакомы с доказательством теоремы Кантора о несчётности множества точек отрезка? Вы считаете его неверным, можете указать на ошибки?


Я "параллелю" чтение и размышления над прочитанным. К сожалению, прочитать и понять все за вечер мне не представляется возможным.

-- 22.09.2017, 15:12 --

Mikhail_K в сообщении #1249731 писал(а):
Если у нас есть конечный или даже счётный набор операций и мы будем применять к натуральным числам всевозможные конечные комбинации операций из этого набора, то мы получим таким образом не все действительные числа, а только принадлежащие некоторому счётному подмножеству $\mathbb{R}$.


Если продолжить применять те же операции не к натуральным числам, а уже к элементам этого счетного подмножества оно (подмножество) будет расширяться?

 Профиль  
                  
 
 Re: Несчетных множеств не существует?
Сообщение22.09.2017, 16:40 


12/03/17
686
Например, дано счетное множество натуральных чисел. Из операций только $+$ и $\cdot$. Применяя эти операции ко всем элементам множества мы никогда его не покинем. Если ввести еше одну операцию $-$, то множество натуральных расширится до множества целых (соответственно и операции мы будем применять теперь ко всем на этом множестве, а не только к натуральным), но никогда не покинем его на этих 3-х операциях. Введя новую (четвертую по счету операцию) $/$ - множество целых расширится до множества рациональных и т.д. Но в основе лежат все-равно только два счетных множества - множество натуральных и множество операций. И все-равно множество всех действительных никогда не будет достигнуто?

 Профиль  
                  
 
 Re: Несчетных множеств не существует?
Сообщение22.09.2017, 16:42 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


06/10/08
6422
Нет. Любая формула - это конечное число символов, так что их все равно будет счетное число.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 64 ]  На страницу Пред.  1, 2, 3, 4, 5  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group