Сумма арифметической прогрессии

[yra]

Maslov
надо отдельно рассмотреть случаи n=четное и n=нечетное.

-- 19.09.2017, 01:41 --

arseniiv
Если Вы заслуженный то сами и подумайте. Эти случаи отличаются доказательствами, хотя результат одинаков.

[arseniiv]

yra
Есть прекрасное доказательство без индукции, на которое в этой старой теме уже ссылались:

$$\begin{align*} \sum_{i=0}^m (a + di) &= \frac12\left(\sum_{i=0}^m (a + di) + \sum_{i=0}^m (a + d(m-i))\right) = \frac12\sum_{i=0}^m (a + di + a + dm - di) = \\ &= \frac12\sum_{i=0}^m (2a + dm) = \frac{(2a + dm)(m+1)}2. \end{align*}$$

Вы видите у Гаусса ошибку, которой нет, и даже не хотите рассказать, где именно видите, чтобы можно было разобраться и помочь. Не хотите — как хотите.

[Toucan]

yra, предупреждение за возобновление темы из Пургатория («Сумма арифметической прогрессии») и за отказ отвечать на вопрос ЗУ.

[yra]

arseniiv
Да нет у Гаусса ошибки! Просто способ доказательства формулы отличается для четных и нечетных n.
Ребята, сейчас уже поздно. Предлагаю продолжить дискуссию завтра. Спокойной ночи. Извините за беспокойство.

-- 19.09.2017, 03:21 --

Toucan
Уважаемый Админ и arseniiv. Ребята, сейчас уже поздно. Предлагаю продолжить дискуссию завтра. Спокойной ночи. Извините за беспокойство.

[Someone]

yra в сообщении #1248815 писал(а):

Просто способ доказательства формулы отличается для четных и нечетных n.

Абсолютно не отличается. Выписываем прогрессию в естественном порядке, под ней подписываем её же в обратном порядке. Получаем $n$ пар с одинаковой суммой. Умножая эту сумму на число членов, получим удвоенную сумму прогрессии.

[atlakatl]

Someone
При нечётном числе членов последняя пара не получится.

[wrest]

atlakatl в сообщении #1248894 писал(а):

При нечётном числе членов последняя пара не получится.

Ок, берем прогрессию с нечетным числом членов $1,2,3$.
Складываем с "обратной" $1+2+3+3+2+1=(1+3)+(2+2)+(3+1)=4\cdot 3=12$ и делим пополам, получаем $6$
Какая пара не получается?

[mihaild]

atlakatl в сообщении #1248894 писал(а):

При нечётном числе членов последняя пара не получится.

Почему? В скобках после первого знака равенства стоят две одинаковых с точностью до перестановки членов суммы, дальше мы просто группируем одинаковые слагаемые.

В классическом доказательстве, где мы группируем слагаемые одной суммы по два, у нас действительно возникают проблемы при нечетном числе слагаемых. Если мы просто добавляем еще одну сумму - то таких проблем нет.

[atlakatl]

wrest
mihaild
Дошло. Я последний с первым членом складывал, - и т.д. Но только одной прогрессии.

[yra]

Уважаемые форумчане, принявшие участие в дискуссии об ар. пр. Обращается к Вам "возмутитель спокойствия" yra. Причина, по которой я затронул эту проблему, будет изложена в конце. Рассмотрим док-во формулы без привлечения второй прогрессии. Ограничимся случаем натурального ряда чисел от 1 до n.
Разбиваем ряд на пары чисел, равноотстоящих от концов ряда. Сумма каждой пары равна n+1, для четного n количество пар равно n/2, перемножая получим искомую формулу. Для нечетного n сумма каждой пары по прежнему равна n+1, но кол-во пар равно (n-1)/2 и остается один непарный член посередине ряда равный (n-1)/2+1. В результате для суммы ряда получим (n+1)*(n-1)/2+(n-1)/2+1. После несложных преобразований получим ту же формулу, что и для четного n. В этом и заключалась моя "пурга".
Теперь о причинах моего обращения к этой теме. В газете АИФ №37 (стр. 21) я прочел статью о только что прошедшей в Москве олимпиады школьников крупнейших мегаполисов мира (химия, математика, физика и информатика). Мне очень понравилась замечательная мат. задача, приведенная в газете, решение которой тесно связано с обсуждаемой проблемой. Привожу условие задачи.
"На встречу выпускников пришли несколько человек, и каждый из них пожал каждому руку. Всего было совершено 435 рукопожатий. Сколько человек пришло на встречу." Задания доступны на сайте Олимпиады мегаполисов.
И в заключение. Надеюсь мое пространное письмо послужит моим извинением за поднятую "пургу".
С уважением, yra.

-- 19.09.2017, 20:24 --

Toucan
Уважаемый админ прошу прочесть мое последнее сообщение и не исключать меня из членов форума. Форум мне очень понравился и я извиняюсь с задержкой с ответом пользователю ЗУ arseniiv. Можно удалить ненужную переписку.
Пользователь yra.

[Someone]

yra в сообщении #1248995 писал(а):

"На встречу выпускников пришли несколько человек, и каждый из них пожал каждому руку. Всего было совершено 435 рукопожатий. Сколько человек пришло на встречу."

И что? Причём здесь арифметические прогрессии? Решается моментально без всяких прогрессий.
Подобные задачи лет 40 назад встречались на вступительных экзаменах. Вот примеры из вступительных экзаменов в НФ МХТИ им. Д. И. Менделеева (сейчас называется НИ РХТУ им. Д. И. Менделеева).

1) После выпуска из школы ученики обменялись фотографическими карточками. Сколько было учеников, если они обменялись 870 карточками?

Разумеется, карточек ровно вдвое больше, чем рукопожатий.

2) В шахматном матч-турнире каждый участник играет со всеми остальными по 4 партии. Сколько было участников, если всего было сыграно 60 партий?

[Anton_Peplov]

Someone в сообщении #1249007 писал(а):

В шахматном матч-турнире каждый участник играет со всеми остальными по 4 партии. Сколько было участников, если всего было сыграно 60 партий?

Хм. Я, наверное, отупел под вечер рабочего дня, но у меня получается дробное число участников...

[Someone]

Anton_Peplov в сообщении #1249012 писал(а):

у меня получается дробное число участников

Наверное, на 2 поделить забыли… Шахматные партии — как рукопожатия, их в два раза меньше, чем фотографий.

[Anton_Peplov]

Someone в сообщении #1249014 писал(а):

Наверное, на 2 поделить забыли

Да-да, именно. Пока искал, куда сунул мышку, Вы уже написали. Всё-таки беспроводные технологии - это иногда очень неудобно :))))

[Toucan]

yra,

yra в сообщении #1248815 писал(а):

Ребята, сейчас уже поздно.

замечание за фамильярность

yra в сообщении #1248995 писал(а):

Уважаемый админ прошу прочесть мое последнее сообщение и не исключать меня из членов форума.

и за оффтопик: для общения с администрацией форума существуют личные сообщения и раздел "Работа форума"; в тематических разделах ему не место.