неравенство (ЕГЭ)

[Rony]

Найдите все значения а, при каждом из которых неравенство
$ \frac {(2 \sqrt [4] {x^5}+ \sqrt7 \sqrt [4] {x^{-5}}-7)-a} {a-(sin \sqrt{x-1} -4)} \leqslant 0. не имеет решений.
Не имеет решений, когда знаменнатель равен нулю...а какие ещё случаи рассматривать?

Добавлено спустя 17 минут 52 секунды:

О, ещё можно рассмотреть случай, когда и числитель и знаменатель оба больше нуля или оба меньше.
А есть ещё какие-нибудь?

[AD]

Rony писал(а):

Не имеет решений, когда знаменнатель равен нулю...

Ну во-первых, знаменатель, очевидно, никогда не будет тождественно равен нулю. А во-вторых, по-моему, это еще тонкий методический вопрос - что было бы в этом случае.

Rony писал(а):

О, ещё можно рассмотреть случай, когда и числитель и знаменатель оба больше нуля или оба меньше.
А есть ещё какие-нибудь?

Для начала предлагаю вам заметить, что

$$\frac AB\leqslant0\qquad\Leftrightarrow\qquad\left\{{AB\geqslant0\atop B\neq 0}\right.$$

А еще предлагаю выписать ОДЗ - она у числителя и у знаменателя разная, и числителю можно разрешить быть не того знака в ОДЗ знаменателя, и наоборот ("наоборот" в нашем случае не бывает).

А вообще для таких вещей есть стандартный метод упрощения и наглядного представления рассуждений, называемый "метод интервалов". Проходили такой?

[bot]

AD писал(а):

Ну во-первых, знаменатель, очевидно, никогда не будет тождественно равен нулю.

Это дельно и даже стоит чуть-чуть развить ...
А вот про "метод интервалов" лучше не слушать. Здесь годится простое всем известное правило формирования знака частного.
Хотя задача и не блещет изяществом, отдаю должное составителю - идея хорошая. Спрятана она не очень хорошо, или скорее совсем не спрятана - совсем напротив она так и прёт из корявых выражений в числителе и знаменателе. Посмотрите на них внимательно. Здесь не очень много от этих по-видимому нарочито корявых выражений надо, чтобы через две строчки получить ответ.
Из ЕГЭ поди?

[TOTAL]

bot писал(а):

Посмотрите на них внимательно. Здесь не очень много от этих по-видимому нарочито корявых выражений надо, чтобы через две строчки получить ответ.

$ \max\left\{ \sin \sqrt{x-1} -4\right\} \le a < \min\left\{ 2 \sqrt [4] {x^5}+ \sqrt7 \sqrt [4] {x^{-5}}-7\right\}$ Правильная первая строчка?

[BugsBunny]

Цитата:

Из ЕГЭ поди?

Ага Сегодня было.

[Rony]

А если найти a, при которых имеет решения и взять остальные?
А имеет решешения в двух случаях, из которых возможен только один: числитель меньше или равен 0, а знаменатель больше.

[bot]

Rony писал(а):

А если найти a, при которых имеет решения и взять остальные?

В принципе переход от прямой задачи к дополнительной может облегчить дело, а может и затруднить ...

Цитата:

А имеет решения в двух случаях, из которых возможен только один: числитель меньше или равен 0, а знаменатель больше.

На нестрогих неравенствах многие прокалываются - если числитель равен 0, то тьфу нам на знак знаменателя.

TOTAL писал(а):

Правильная первая строчка?

Неправильная - это последняя строчка.
Только я положился на составителя и не проверял, что $\min > -3$.

[bot]

Кстати, актуальность задачи уж утрачена, так что можно и решение выложить.
Смотрим пристально на числитель и знаменатель. Первый начиная с некоторого числа (вычислять который нет надобности) монотонно идёт в плюс бесконечность при возрастании аргумента, а второй в любом промежутке вида $(x_0; \ +\infty)$ принимает минимальное значение $a+3$. Отсюда с необходимостью $a+3 \geqslant 0$, иначе решение неравенства есть. Но если $a+3 \geqslant 0$, то числитель должен быть строго положителен при любых $x\geqslant 1$, иначе опять решение неравенства есть. Отсюда и вытекает ответ:

TOTAL писал(а):

$-3 \le a < \min\left\{ 2 \sqrt [4] {x^5}+ \sqrt7 \sqrt [4] {x^{-5}}-7\right\}$

Этот $\min$ очевидно есть, но я его не вычислял и уж наверно он больше, чем $-3$, иначе составителю было бы а-я-яй.

[ILIYA01]

А у меня этот min получился меньше $-3$.

[bot]

Да ну? Неужто а-я-я-й - не не может быть.
Придётся посчитать

Добавлено спустя 5 минут 25 секунд:

Для положительного $t$ имеем:

$2t+\frac{\sqrt 7}{t}=\sqrt{2\sqrt 7}(y+\frac{1}{y}) \geqslant 2\sqrt{2\sqrt 7}$, равенство достижимо, то есть $\min = 2\sqrt{2\sqrt 7} - 7 \approx -2,3993467324175879898282147286713 > -3$

Нет, не а-я-яй.

[ILIYA01]

Да, Вы правы, я чуть-чуть не так считал и ошибся.