2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки
01/01/18 20:50 UTC: Перешли на HTTPS в тестовом режиме. О проблемах пишите в ЛС cepesh.





Начать новую тему Ответить на тему На страницу Пред.  1, 2
 
 Re: Нестандартный анализ [оффтоп из "Лучший учебник по мат.анали
Сообщение14.09.2017, 15:55 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377
maximav в сообщении #1247685 писал(а):
Честно говоря, не понял. Живу, скажем, в рамках следующего языка. Есть символы, пропозициональные связки, кванторы. Подключаем предикаты. Начинаем смотреть на ZFC. Где и в каком месте заканчивается порядок логики 1 и начинается 2?


В ZFC нигде. Если вы даёте определение полного упорядоченного поля в ZFC это одно, если формулируете аксиомы полного упорядоченного поля абстрактно, как самостоятельную теорию - это другое.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нестандартный анализ [оффтоп из "Лучший учебник по мат.анали
Сообщение14.09.2017, 16:03 


19/03/15
217
Но упорядочение - это ведь функция (в смысле ZFC) и я вроде не выхожу за рамки ZFC. Какая разница, если я добавляю ее (функцию, упорядочение) к полю или ввожу саму по себе?

 Профиль  
                  
 
 Re: Нестандартный анализ [оффтоп из "Лучший учебник по мат.анали
Сообщение14.09.2017, 16:08 


31/12/15
221
Рассмотрим язык первого порядка, в котором можно говорить о действительных числах. Он содержит
$x,y,z\ldots$ переменные
$0,1$ константы
$+,-,\times$ функциональные символы
$<,=$ предикатные символы
$\wedge,\vee,\neg,\Rightarrow$ логические связки
$\forall,\exists$ кванторы
$()$ скобки
Выпишем какую-нибудь формулу с одной свободной переменной
$x\times x>1+1$
Она задаёт множество чисел $(-\infty,-\sqrt 2)\cup(\sqrt 2,\infty)$
Какие вообще множества чисел можно задать формулами первого порядка? Теорема Тарского-Зайденберга: это в точности объединения конечного числа интервалов (открытых, замкнутых, полуоткрытых) с алгебраическими концами. Множество натуральных чисел формулой первого порядка выделить нельзя, оно имеет вид объединения бесконечного числа интервалов
$[0,0]\cup[1,1]\cup[2,2]\cup\ldots$
Язык второго порядка гораздо выразительнее. Кстати, аксиомой полноты называется такая аксиома
$\forall A(\exists x(A<x)\Rightarrow A$ имеет супремум)
а не то, что вы так раньше называли (это называлось плотность порядка)

 Профиль  
                  
 
 Re: Нестандартный анализ [оффтоп из "Лучший учебник по мат.анали
Сообщение14.09.2017, 16:14 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377
Порядок это отношение, а не функция. Находясь внутри ZFC вы можете дать определение "полное упорядоченное поле это множество с такими-то отношениями и операциями на нём и удовлетворялющая таким-то аксиомам", - это одна ситуация. Другая, это если вы вообще забыли о ZFC и хотите сформулировать новую теорию "полного упорядоченного поля" никакого отношения к ZFC не имеющую Тогда вы должны стартовать со значков $\times, +, <,0,1$ и каких-то аксиом наложенных на них. Большинство аксиом можно записать пользуясь языком первого порядка, скажем $\forall x \forall y (x+y = y+x)$ но вот аксиому полноты так записать не выйдет.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нестандартный анализ [оффтоп из "Лучший учебник по мат.анали
Сообщение14.09.2017, 16:30 


19/03/15
217
В книжках вроде меня уили, что функция-отношение - это вопрос более терминологии (+ свои свойства для отношений), а не существа дела один черт, все через множество/график идет. Зорич, кажется функцию через отношение вводит, а Биркгоф/Хаусдорф, наоборот (если не путаю). Получается, что отношение можно без ZFC... полностью? Ну вообще-то
kp9r4d в сообщении #1247701 писал(а):
никакого отношения к ZFC не имеющую
это новость для меня

-- 14.09.2017, 19:37 --

kp9r4d в сообщении #1247701 писал(а):
тогда вы должны стартовать со значков $\times, +, <,0,1$ и каких-то аксиом наложенных на них
Это получается, что помимо ZFC и исчисления высказываний $\wedge, \vee, \sim, \to$ и т.д. вводим эти новые значки и (новое) их исчисление?

 Профиль  
                  
 
 Re: Нестандартный анализ [оффтоп из "Лучший учебник по мат.анали
Сообщение14.09.2017, 17:03 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


09/02/14

1377
maximav
Что бы через что не определялось порядок все равно отношение, а не функция.

maximav в сообщении #1247710 писал(а):
Это получается, что помимо ZFC и исчисления высказываний $\wedge, \vee, \sim, \to$ и т.д. вводим эти новые значки и (новое) их исчисление?

Ну сорт оф, только ZFC не вводим вообще. Прочитайте какой нибудь гайд по теориям первого порядка, чтобы привыкнуть что бывает не только ZFC, там разбираться - 8-10 часов чистого времени, и все ваши подобного сорта вопросы исчезнут.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нестандартный анализ [оффтоп из "Лучший учебник по мат.анали
Сообщение15.09.2017, 09:28 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


23/07/05
15156
Новомосковск
maximav в сообщении #1247685 писал(а):
Я так понимаю "схема аксиом" здесь ключевое слово и именно оно ответственно за отход от 1-го и переход к логике 2-го порядка?
Как раз наоборот: схемы аксиом используются для того, чтобы не вводить логику второго порядка.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нестандартный анализ [оффтоп из "Лучший учебник по мат.анали
Сообщение15.09.2017, 14:30 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
21619
Уфа
maximav в сообщении #1247685 писал(а):
Я так понимаю "схема аксиом" здесь ключевое слово и именно оно ответственно за отход от 1-го и переход к логике 2-го порядка? А не в этом ли вообще разница между ними?
Нет, не ответственно. Просто в эквивалентной (в соответствующем смысле) теории второго порядка на том месте схемы нет, одна аксиома. А в теории первого вместо неё счётное разрешимое множество аксиом. А разница в том, что входит, а что не входит в язык, и в интерпретациях формул языка. Присоединяюсь к совету почитать, иначе ерунда какая-то получается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Нестандартный анализ [оффтоп из "Лучший учебник по мат.анали
Сообщение15.09.2017, 16:04 
Аватара пользователя


28/07/09
1043
А гросс-единица $\textcircled{1}$ -- это нестандартный анализ или лженаука?

 Профиль  
                  
 
 Re: Нестандартный анализ [оффтоп из "Лучший учебник по мат.анали
Сообщение15.09.2017, 17:29 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


27/04/09
21619
Уфа
Это велосипед с квадратными колёсами; ну и если он преподносится автором (в статье, кажется, так было) как нечто лучшее, это, можно считать, и лженаука. Когда он тут обсуждался, была ссылка на такой разбор.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 25 ]  На страницу Пред.  1, 2

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group