Нестандартный анализ [оффтоп из "Лучший учебник по мат.анализу"]

[kp9r4d]

maximav в сообщении #1247685 писал(а):

Честно говоря, не понял. Живу, скажем, в рамках следующего языка. Есть символы, пропозициональные связки, кванторы. Подключаем предикаты. Начинаем смотреть на ZFC. Где и в каком месте заканчивается порядок логики 1 и начинается 2?

В ZFC нигде. Если вы даёте определение полного упорядоченного поля в ZFC это одно, если формулируете аксиомы полного упорядоченного поля абстрактно, как самостоятельную теорию - это другое.

[maximav]

Но упорядочение - это ведь функция (в смысле ZFC) и я вроде не выхожу за рамки ZFC. Какая разница, если я добавляю ее (функцию, упорядочение) к полю или ввожу саму по себе?

[george66]

Рассмотрим язык первого порядка, в котором можно говорить о действительных числах. Он содержит
$x,y,z\ldots$ переменные
$0,1$ константы
$+,-,\times$ функциональные символы
$<,=$ предикатные символы
$\wedge,\vee,\neg,\Rightarrow$ логические связки
$\forall,\exists$ кванторы
$()$ скобки
Выпишем какую-нибудь формулу с одной свободной переменной
$x\times x>1+1$
Она задаёт множество чисел $(-\infty,-\sqrt 2)\cup(\sqrt 2,\infty)$
Какие вообще множества чисел можно задать формулами первого порядка? Теорема Тарского-Зайденберга: это в точности объединения конечного числа интервалов (открытых, замкнутых, полуоткрытых) с алгебраическими концами. Множество натуральных чисел формулой первого порядка выделить нельзя, оно имеет вид объединения бесконечного числа интервалов
$[0,0]\cup[1,1]\cup[2,2]\cup\ldots$
Язык второго порядка гораздо выразительнее. Кстати, аксиомой полноты называется такая аксиома
$\forall A(\exists x(A<x)\Rightarrow A$ имеет супремум)
а не то, что вы так раньше называли (это называлось плотность порядка)

[kp9r4d]

Порядок это отношение, а не функция. Находясь внутри ZFC вы можете дать определение "полное упорядоченное поле это множество с такими-то отношениями и операциями на нём и удовлетворялющая таким-то аксиомам", - это одна ситуация. Другая, это если вы вообще забыли о ZFC и хотите сформулировать новую теорию "полного упорядоченного поля" никакого отношения к ZFC не имеющую Тогда вы должны стартовать со значков $\times, +, <,0,1$ и каких-то аксиом наложенных на них. Большинство аксиом можно записать пользуясь языком первого порядка, скажем $\forall x \forall y (x+y = y+x)$ но вот аксиому полноты так записать не выйдет.

[maximav]

В книжках вроде меня уили, что функция-отношение - это вопрос более терминологии (+ свои свойства для отношений), а не существа дела один черт, все через множество/график идет. Зорич, кажется функцию через отношение вводит, а Биркгоф/Хаусдорф, наоборот (если не путаю). Получается, что отношение можно без ZFC... полностью? Ну вообще-то

kp9r4d в сообщении #1247701 писал(а):

никакого отношения к ZFC не имеющую

это новость для меня

-- 14.09.2017, 19:37 --

kp9r4d в сообщении #1247701 писал(а):

тогда вы должны стартовать со значков $\times, +, <,0,1$ и каких-то аксиом наложенных на них

Это получается, что помимо ZFC и исчисления высказываний $\wedge, \vee, \sim, \to$ и т.д. вводим эти новые значки и (новое) их исчисление?

[kp9r4d]

maximav
Что бы через что не определялось порядок все равно отношение, а не функция.

maximav в сообщении #1247710 писал(а):

Это получается, что помимо ZFC и исчисления высказываний $\wedge, \vee, \sim, \to$ и т.д. вводим эти новые значки и (новое) их исчисление?

Ну сорт оф, только ZFC не вводим вообще. Прочитайте какой нибудь гайд по теориям первого порядка, чтобы привыкнуть что бывает не только ZFC, там разбираться - 8-10 часов чистого времени, и все ваши подобного сорта вопросы исчезнут.

[Someone]

maximav в сообщении #1247685 писал(а):

Я так понимаю "схема аксиом" здесь ключевое слово и именно оно ответственно за отход от 1-го и переход к логике 2-го порядка?

Как раз наоборот: схемы аксиом используются для того, чтобы не вводить логику второго порядка.

[arseniiv]

maximav в сообщении #1247685 писал(а):

Я так понимаю "схема аксиом" здесь ключевое слово и именно оно ответственно за отход от 1-го и переход к логике 2-го порядка? А не в этом ли вообще разница между ними?

Нет, не ответственно. Просто в эквивалентной (в соответствующем смысле) теории второго порядка на том месте схемы нет, одна аксиома. А в теории первого вместо неё счётное разрешимое множество аксиом. А разница в том, что входит, а что не входит в язык, и в интерпретациях формул языка. Присоединяюсь к совету почитать, иначе ерунда какая-то получается.

[Legioner93]

А гросс-единица $\textcircled{1}$ -- это нестандартный анализ или лженаука?

[arseniiv]

Это велосипед с квадратными колёсами; ну и если он преподносится автором (в статье, кажется, так было) как нечто лучшее, это, можно считать, и лженаука. Когда он тут обсуждался, была ссылка на такой разбор.