Рассмотрим язык первого порядка, в котором можно говорить о действительных числах. Он содержит

переменные

константы

функциональные символы

предикатные символы

логические связки

кванторы

скобки
Выпишем какую-нибудь формулу с одной свободной переменной

Она задаёт множество чисел

Какие вообще множества чисел можно задать формулами первого порядка? Теорема Тарского-Зайденберга: это в точности объединения конечного числа интервалов (открытых, замкнутых, полуоткрытых) с алгебраическими концами. Множество натуральных чисел формулой первого порядка выделить нельзя, оно имеет вид объединения бесконечного числа интервалов
![$[0,0]\cup[1,1]\cup[2,2]\cup\ldots$ $[0,0]\cup[1,1]\cup[2,2]\cup\ldots$](https://dxdy-03.korotkov.co.uk/f/a/7/7/a770133cb5dd68b07ccd748a49479e7e82.png)
Язык второго порядка гораздо выразительнее. Кстати, аксиомой полноты называется такая аксиома

имеет супремум)
а не то, что вы так раньше называли (это называлось плотность порядка)