Нестандартный анализ [оффтоп из "Лучший учебник по мат.анализу"]

[alekseik]

а можно ввести число эпсилон так:оно больше нуля и меньше любого положительного числа тогда всё становится элементарно!

[Someone]

alekseik в сообщении #1243979 писал(а):

можно ввести число эпсилон так:

Нельзя. Если не лезть в такие дебри математической логики, из которых Вы не выберетесь, раз уж у Вас простые определения математического анализа вызывают проблемы.

Если любопытно, то можно почитать книгу М. Девиса "Прикладной нестандартный анализ" (можно скачать с одного из зеркал). Но отвечать на экзамене по этой книге не советую.

[Munin]

Я всегда думал, что начальным чтением здесь является
Успенский. Что такое нестандартный анализ.

[ewert]

alekseik в сообщении #1243979 писал(а):

а можно ввести число эпсилон так:оно больше нуля и меньше любого положительного числа тогда всё становится элементарно!

Да, и практически бесполезно, т.к. ни разу не соответствует вычислительной практике.

Это называется отрицанием аксиомы Архимеда. На которую обычный анализ как раз опирается.

[Karan]

Тема выделена из Лучший учебник по математическому анализу [литература]
alekseik, замечание за оффтоп.

[maximav]

Зорич (стр.60): если $a < b$, то найдется число $c$ между ними. Эта аксиома полноты прописана также и Фихтенгольца (стр.19). Но далее, когда речь заходит о принципе/аксиоме Архимеда, то Зорич его выводит, а Фихтенгольц объявляет аксиомой, да еще и подчеркивает, что она не выводима из других. Где, т.е. в каком сочетании других аксиомах, зарыта собака? Более того, Зорич (стр. 45), да вроде и другие, утверждают о категоричности аксиом вещественных чисел. Но с другой стороны, если мы обратимся к нестандартному анализу Робинсона, то он являет собой тоже модель упорядоченного поля, как и $R$, но не изоморфное вещественным числам. В каком месте собака зарыта здесь? Насколько я пока вижу топология для выявления различия между этими моделями не задействуется. Или это не так? Аналогичный вопрос у меня и про сопоставление аксиомы Архимеда выше.

[maximav]

Обратил внимание, у Фихтенгольца аксиома про область рациональных. Но вопросы про нестандартный анализ и Архимеда выше остаются.

[george66]

maximav в сообщении #1244969 писал(а):

Зорич (стр.60): если $a < b$, то найдется число $c$ между ними. Эта аксиома полноты прописана также и Фихтенгольца (стр.19). Но далее, когда речь заходит о принципе/аксиоме Архимеда, то Зорич его выводит, а Фихтенгольц объявляет аксиомой, да еще и подчеркивает, что она не выводима из других. Где, т.е. в каком сочетании других аксиомах, зарыта собака? Более того, Зорич (стр. 45), да вроде и другие, утверждают о категоричности аксиом вещественных чисел. Но с другой стороны, если мы обратимся к нестандартному анализу Робинсона, то он являет собой тоже модель упорядоченного поля, как и $R$, но не изоморфное вещественным числам. В каком месте собака зарыта здесь? Насколько я пока вижу топология для выявления различия между этими моделями не задействуется. Или это не так? Аналогичный вопрос у меня и про сопоставление аксиомы Архимеда выше.

Аксиомы полного упорядоченного поля записываются на языке второго порядка. В нём есть два вида переменных -- переменные $x,y,z\ldots$ по действительным числам и переменные $A,B,C\ldots$ по множествам действительных чисел. Когда мы строим модели для теорий в таком языке, мы обычно выбираем множество-носитель $X$ (например, множество действительных чисел) и считаем, что переменные $A,B,C$ пробегают по множеству $P(X)$ (всех подмножеств $X$). При таком определении модели можно доказать, что существует ровно одно полное упорядоченное поле (с точностью до изоморфизма). Но можно расширить понятие модели и не требовать, чтобы $A,B,C$ пробегали по ВСЕМ подмножествам. В нестандартной модели $A,B,C$ пробегают по некоторому семейству подмножеств, которые называются "внутренними". Аксиома
$\forall A (\exists x (A<x)\Rightarrow A$ имеет супремум)
означает "каждое внутреннее множество, ограниченное сверху, имеет супремум". Не все множества внутренние.

[george66]

Рассмотрим формулу
$0\in A\wedge\forall x(x\in A\Rightarrow x+1\in A)$
для краткости обозначим её $Ind(A)$ ("множество $A$ индуктивно"). Рассмотрим формулу
$\forall A(Ind(A)\Rightarrow x\in A)$
"число $x$ принадлежит всем индуктивным множествам". Эта формула верна в точности если число $x$ натуральное, она выделяет натуральные числа среди действительных. Обозначим её для краткости $x\in \mathbb{N}$. В нестандартной модели эта формула обозначает пересечение всех ВНУТРЕННИХ индуктивных множеств и выделяет она гипернатуральные числа, среди которых есть бесконечно большие. Аксиому Архимеда можно записать так
$\forall x\exists y\in\mathbb{N}(x<y)$
она верна и на нестандартной модели, но смысл её там другой "для любого гипердействительного числа найдётся гипернатуральное, которое его больше". Множество стандартных натуральных чисел, хотя индуктивное, но не внутреннее, потому что ограничено сверху (любым бесконечно большим), но не имеет супремума (если $x$ больше всех натуральных, то и $x-1$ больше всех натуральных, супремума нет).

[maximav]

Я пока перевариваю написанное вами, но для начала общий вопрос. Я правильно догадываюсь, что в отличие от построения, скажем, нестандартной $p$-адической математики, где поля неупорядоченные и мы задействуем метрики, в нестандартном анализе мы строим (стартуем) не расширения чего-то имеющегося, скажем $\mathbb Q$-поля, а изначально и низкоуровнево мат-логически строим нечто более широкое (нестандартный анализ), которое потом будет содержать анализ на $\mathbb R$ как подмножество?

[Xaositect]

Можно по разному строить, можно и как расширение (ультрастепень $\mathbb{R}$)

[maximav]

george66 в сообщении #1244989 писал(а):

Аксиомы полного упорядоченного поля записываются на языке второго порядка. В нём есть два вида переменных

Если можно, здесь поподробнее пожалуйста. Смотрим на аксиомы поля. Там вроде все ограничивается исчислением предикатов. Сделали. Добавили про полноту. Делаем тоже самое для упорядочения. Сделали. Начинаем скрещивать. Вроде как опять не выходим за рамки кванторов и предикатов. Почему и где тогда возникает логика 2-го порядка? А еще есть примеры, чтобы средний ум вроде меня, понял где мы используем в математике логику высших порядков? То есть что-то показательно-характерное, отличающее привычное 1-го порядка от 2-го.

[Someone]

maximav в сообщении #1247657 писал(а):

Добавили про полноту.

В языке первого порядка аксиому полноты придётся формулировать в виде схемы аксиом.

[kp9r4d]

maximav
Первогого порядка это утверждения об объектах (скажем, числах), второго - о семействах объектов (скажем, множествах чисел).

[maximav]

Someone
Я так понимаю "схема аксиом" здесь ключевое слово и именно оно ответственно за отход от 1-го и переход к логике 2-го порядка? А не в этом ли вообще разница между ними? Если так, то в параллельном потоке Xaositect написал, что "ZFC это теория первого порядка. $P$ в аксиоме выделения это любая формула языка ZFC". Но в ZFC, одна из аксиом - это схема. ...?

-- 14.09.2017, 18:49 --

kp9r4d в сообщении #1247684 писал(а):

Первогого порядка это утверждения об объектах (скажем, числах), второго - о семействах объектов (скажем, множествах чисел).

Честно говоря, не понял. Живу, скажем, в рамках следующего языка. Есть символы, пропозициональные связки, кванторы. Подключаем предикаты. Начинаем смотреть на ZFC. Где и в каком месте заканчивается порядок логики 1 и начинается 2?