2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему
 
 Можно ли точно сказать, сколько прямых он провёл?
Сообщение08.09.2017, 15:34 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
Петя провёл на плоскости несколько прямых так, что получилось $n$ точек пересечения.
Для каждого $n\in\mathbb{N}$ определите, можно ли точно сказать, сколько прямых он провёл?

 Профиль  
                  
 
 Re: Можно ли точно сказать, сколько прямых он провёл?
Сообщение08.09.2017, 16:02 
Заслуженный участник


20/08/14
11067
Россия, Москва
$n=1$ - произвольное количество прямых.
$n=2$ - 3 прямых.
Дальше для любого чётного числа есть минимум два варианта, для любого нечётного тоже есть минимум два варианта.
Значит единственное допустимое $n=2$.

-- 08.09.2017, 16:05 --

Достаточно легко оказалось, даже не надо проверять все возможные варианты размещения прямых для каждого $n$, достаточно двух тривиальных.

 Профиль  
                  
 
 Re: Можно ли точно сказать, сколько прямых он провёл?
Сообщение08.09.2017, 16:11 
Аватара пользователя


01/12/11

8634
Dmitriy40 в сообщении #1246171 писал(а):
$n=2$ - 3 прямых.

Это тоже легко доказать?

 Профиль  
                  
 
 Re: Можно ли точно сказать, сколько прямых он провёл?
Сообщение08.09.2017, 16:18 
Заслуженный участник


20/08/14
11067
Россия, Москва
Ну в общем да. Можно привести пример такой ситуации, потом доказать что ни одна ни две прямых не дадут две точки пересечения (тривиально), потом рассмотреть все возможные варианты размещения 4-й прямой (их вроде бы всего 5 исключая симметрии) и пересчитать точки пересечений (их во всех вариантах будет больше двух). Всё.

 Профиль  
                  
 
 Re: Можно ли точно сказать, сколько прямых он провёл?
Сообщение08.09.2017, 21:36 
Заслуженный участник


20/08/14
11067
Россия, Москва
Забыл ещё один важный промежуточный шаг, перед рассмотрением 4-й прямой: доказать что предъявленное расположение трёх прямых единственно возможное (в топологическом смысле). Поступить как и с 4-й прямой: перечислить все возможные случаи расположения третьей прямой (вроде 3 варианта) и проверить количество точек пересечений.

-- 08.09.2017, 21:40 --

С другой стороны, в условии задачи нехватает ещё какой-то мелочи, ведь для некоторых расположений точек пересечения множество допустимых $n$ становится шире, например если все точки попали на одну прямую, то ответом будет любое $n>1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Можно ли точно сказать, сколько прямых он провёл?
Сообщение09.09.2017, 00:07 
Заслуженный участник


06/07/11
5627
кран.набрать.грамота
Dmitriy40
Не могу понять ход ваших мыслей, мне кажется, вы вообще не в том направлении думаете. Мне кажется, проще рассуждать так. Для каждого $n$ надо задать способ построения такой, что можно было бы либо предложить способ получения двумя разными наборами прямых (то есть наборами с разным количеством прямых) одного и того же количества точек, либо доказать, что такое количество точек можно получить только одним набором. Далее рассмотреть случаи:
Случай $n=1$. Если получилась одна точка пересечения, то, как вы верно заметили, невозможно сказать, сколько было прямых.
Случай $n=2$. Две прямые могут пересечься только в одной точке. Следовательно, чтобы получить две точки, надо прямую (номер 1) пересечь двумя другими прямыми (номер 2 и 3). Но при этом прямые 2 и 3 должны быть параллельны, иначе точек пересечения станет 3. Теперь надо проверить, что две точки можно получить только тремя прямыми. Попробуем провести еще одну прямую через точку пересечения прямых 1 и 2. Чтобы точек пересечения осталось две, новая прямая должна быть параллельна прямой 3. Но через точку, не лежащую на прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной (ну, у нас вроде Евклидова геометрия в задаче, да?), и такая прямая уже есть - это прямая 2. Следовательно, 2 точки можно получить только одним способом.
Случаи нечетных $n \geqslant 3$. Возьмем две пересекающиеся в точке $A$ прямые (1 и 2) и пучок из $(n - 1)/2$ параллельных прямых, которые пересекаются с прямыми 1 и 2, но не попадают в точку $A$. В этом случае число точек пересечения будет равно $n$. Но через точку $A$ можно провести еще одну прямую так, чтобы число точек пересечения не изменилось.
Случаи четных $n \geqslant 4$. Четное число точек можно получить минимум двумя способами: 1 - пучок из $n$ параллельных прямых, пересекающихся еще одной прямой, и пучок из $n/2$ прямых, пересекающихся с двумя параллельными друг другу прямыми (такая как бы "решетка").
Следовательно, восстановить число прямых можно только в случае $n=2$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Можно ли точно сказать, сколько прямых он провёл?
Сообщение09.09.2017, 01:52 
Заслуженный участник


20/08/14
11067
Россия, Москва
rockclimber в сообщении #1246339 писал(а):
Случай $n=2$.
Далее Вы доказали то же что и я, только быстрее и без лишнего перебора всех возможных вариантов. Я же попытался перебрать все возможные варианты размещения прямых и посчитать количество точек пересечения в каждом. Две точки получаются лишь при одном варианте.
Остальное у нас аналогично.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 7 ] 

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: нет зарегистрированных пользователей


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group