Можно ли точно сказать, сколько прямых он провёл?

[Ktina]

Петя провёл на плоскости несколько прямых так, что получилось $n$ точек пересечения.
Для каждого $n\in\mathbb{N}$ определите, можно ли точно сказать, сколько прямых он провёл?

[Dmitriy40]

$n=1$ - произвольное количество прямых.
$n=2$ - 3 прямых.
Дальше для любого чётного числа есть минимум два варианта, для любого нечётного тоже есть минимум два варианта.
Значит единственное допустимое $n=2$.

-- 08.09.2017, 16:05 --

Достаточно легко оказалось, даже не надо проверять все возможные варианты размещения прямых для каждого $n$, достаточно двух тривиальных.

[Ktina]

Dmitriy40 в сообщении #1246171 писал(а):

$n=2$ - 3 прямых.

Это тоже легко доказать?

[Dmitriy40]

Ну в общем да. Можно привести пример такой ситуации, потом доказать что ни одна ни две прямых не дадут две точки пересечения (тривиально), потом рассмотреть все возможные варианты размещения 4-й прямой (их вроде бы всего 5 исключая симметрии) и пересчитать точки пересечений (их во всех вариантах будет больше двух). Всё.

[Dmitriy40]

Забыл ещё один важный промежуточный шаг, перед рассмотрением 4-й прямой: доказать что предъявленное расположение трёх прямых единственно возможное (в топологическом смысле). Поступить как и с 4-й прямой: перечислить все возможные случаи расположения третьей прямой (вроде 3 варианта) и проверить количество точек пересечений.

-- 08.09.2017, 21:40 --

С другой стороны, в условии задачи нехватает ещё какой-то мелочи, ведь для некоторых расположений точек пересечения множество допустимых $n$ становится шире, например если все точки попали на одну прямую, то ответом будет любое $n>1$.

[rockclimber]

Dmitriy40
Не могу понять ход ваших мыслей, мне кажется, вы вообще не в том направлении думаете. Мне кажется, проще рассуждать так. Для каждого $n$ надо задать способ построения такой, что можно было бы либо предложить способ получения двумя разными наборами прямых (то есть наборами с разным количеством прямых) одного и того же количества точек, либо доказать, что такое количество точек можно получить только одним набором. Далее рассмотреть случаи:
Случай $n=1$. Если получилась одна точка пересечения, то, как вы верно заметили, невозможно сказать, сколько было прямых.
Случай $n=2$. Две прямые могут пересечься только в одной точке. Следовательно, чтобы получить две точки, надо прямую (номер 1) пересечь двумя другими прямыми (номер 2 и 3). Но при этом прямые 2 и 3 должны быть параллельны, иначе точек пересечения станет 3. Теперь надо проверить, что две точки можно получить только тремя прямыми. Попробуем провести еще одну прямую через точку пересечения прямых 1 и 2. Чтобы точек пересечения осталось две, новая прямая должна быть параллельна прямой 3. Но через точку, не лежащую на прямой, можно провести только одну прямую, параллельную данной (ну, у нас вроде Евклидова геометрия в задаче, да?), и такая прямая уже есть - это прямая 2. Следовательно, 2 точки можно получить только одним способом.
Случаи нечетных $n \geqslant 3$. Возьмем две пересекающиеся в точке $A$ прямые (1 и 2) и пучок из $(n - 1)/2$ параллельных прямых, которые пересекаются с прямыми 1 и 2, но не попадают в точку $A$. В этом случае число точек пересечения будет равно $n$. Но через точку $A$ можно провести еще одну прямую так, чтобы число точек пересечения не изменилось.
Случаи четных $n \geqslant 4$. Четное число точек можно получить минимум двумя способами: 1 - пучок из $n$ параллельных прямых, пересекающихся еще одной прямой, и пучок из $n/2$ прямых, пересекающихся с двумя параллельными друг другу прямыми (такая как бы "решетка").
Следовательно, восстановить число прямых можно только в случае $n=2$.

[Dmitriy40]

rockclimber в сообщении #1246339 писал(а):

Случай $n=2$.

Далее Вы доказали то же что и я, только быстрее и без лишнего перебора всех возможных вариантов. Я же попытался перебрать все возможные варианты размещения прямых и посчитать количество точек пересечения в каждом. Две точки получаются лишь при одном варианте.
Остальное у нас аналогично.