2014 dxdy logo

Научный форум dxdy

Математика, Физика, Computer Science, Machine Learning, LaTeX, Механика и Техника, Химия,
Биология и Медицина, Экономика и Финансовая Математика, Гуманитарные науки




Начать новую тему Ответить на тему На страницу 1, 2  След.
 
 Простая задачка
Сообщение07.09.2017, 20:52 


11/07/11
164
Пусть на множестве $S$ задана тернарная операция $T : S^3 \to S$. Назовём её декомпозицией такую бинарную операцию $B : S^2 \to S$, что

$\forall a, b, c \in S \quad B(B(a, b), c) = T(a, b, c)$

Каким должно быть множество $S$, чтобы для любой тернарной операции на нём существовала декомпозиция?

 Профиль  
                  
 
 Re: Простая задачка
Сообщение07.09.2017, 22:22 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9213
Цюрих
Не более чем одноэлементным?

 Профиль  
                  
 
 Re: Простая задачка
Сообщение07.09.2017, 22:46 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Угу, слишком просто. Рассмотрим тернарную операцию $T(a,b,c) = b$. Тогда $B(a,b)$ должно быть инъективным по $b$, чтобы пронести информацию о нём, но при этом $B(B(a,b),c)$ не зависит от $c$. Требования согласуются только если все элементы $S$ равны, т. е. если $|S|\leqslant1$.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простая задачка
Сообщение07.09.2017, 22:56 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


28/07/09
1238
Так ещё ж проще. Бинарная операция явно определяет соответствующую тернарную. Но последних тупо больше, значит бинарных на всех "не хватит" $$n^{n^3} > n^{n^2}$$

 Профиль  
                  
 
 Re: Простая задачка
Сообщение07.09.2017, 22:57 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Legioner93 в сообщении #1245988 писал(а):
Но последних тупо больше
Только для конечных $|S|>1$. С бесконечными ломается.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простая задачка
Сообщение07.09.2017, 23:46 


11/07/11
164
Да, всё так.

А не знаете, есть какая-нибудь теория про тернарные операции? Я бы что-нибудь почитал перед сном на эту тему.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простая задачка
Сообщение07.09.2017, 23:48 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Если говорить о частных интересных алгебраических системах с тернарной операцией, есть, например, груды и их обобщения.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простая задачка
Сообщение08.09.2017, 17:00 


11/07/11
164
arseniiv в сообщении #1246011 писал(а):
Если говорить о частных интересных алгебраических системах с тернарной операцией, есть, например, груды и их обобщения.

Интересные штуки. А какая от них польза в народном хозяйстве?

 Профиль  
                  
 
 Re: Простая задачка
Сообщение08.09.2017, 17:34 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Не знаю. Ради интереса я как-то аксиоматизировал аффинное пространство наподобие векторного, но без упоминания последнего, как груду с операцией растяжения вокруг центра, аксиомы для которой напоминали аксиомы связи групповой операции с умножением на скаляр в аксиомах векторного.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простая задачка
Сообщение08.09.2017, 22:18 


11/07/11
164
А как изменится ответ задачи, если проводить декомпозицию на две различных бинарных операции? Для бесконечных множеств всё просто, а вот для конечных я пока не сообразил.

 Профиль  
                  
 
 Re: Простая задачка
Сообщение08.09.2017, 22:31 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9213
Цюрих
Тернарных операций $n^{n^3}$, пар бинарных - $n^{2n^2}$, при $n > 2$ тернарных просто больше.
Для $n = 2$ пар бинарных столько же, сколько тернарных, но некоторые пары порождают одну и ту же тернарную, так что тоже не получится.

UPD: а для бесконечных без аксиомы выбора можно?..

 Профиль  
                  
 
 Re: Простая задачка
Сообщение08.09.2017, 22:42 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
Вот кажется, что и здесь в бесконечном случае должно тоже не получаться, но универсальный контрпример теперь не работает. :-(

mihaild в сообщении #1246321 писал(а):
а для бесконечных без аксиомы выбора можно?..
А с ней получается? (И если получается, зачем без неё?)

 Профиль  
                  
 
 Re: Простая задачка
Сообщение08.09.2017, 22:45 
Заслуженный участник
Аватара пользователя


16/07/14
9213
Цюрих
arseniiv в сообщении #1246324 писал(а):
А с ней получается?
Да. В качестве внутренней операции берем какую-нибудь биекцию $S \times S \leftrightarrow S$, в качестве внешней понятно что.
arseniiv в сообщении #1246324 писал(а):
И если получается, зачем без неё?
Не все любят аксиому выбора :roll:

 Профиль  
                  
 
 Re: Простая задачка
Сообщение08.09.2017, 23:00 


11/07/11
164
mihaild в сообщении #1246321 писал(а):
Тернарных операций $n^{n^3}$, пар бинарных - $n^{2n^2}$, при $n > 2$ тернарных просто больше.


Действительно, я почему-то не стал считать, а подумал, что пар бинарных будет больше. Всегда надо считать.

mihaild в сообщении #1246325 писал(а):
arseniiv в сообщении #1246324 писал(а):
А с ней получается?
Да. В качестве внутренней операции берем какую-нибудь биекцию $S \times S \leftrightarrow S$, в качестве внешней понятно что.


А для построения такой биекции обязательна аксиома выбора?

 Профиль  
                  
 
 Re: Простая задачка
Сообщение08.09.2017, 23:05 
Заслуженный участник


27/04/09
28128
mihaild в сообщении #1246325 писал(а):
Да. В качестве внутренней операции берем какую-нибудь биекцию $S \times S \leftrightarrow S$, в качестве внешней понятно что.
Ой, и правда же.

 Профиль  
                  
Показать сообщения за:  Поле сортировки  
Начать новую тему Ответить на тему  [ Сообщений: 18 ]  На страницу 1, 2  След.

Модераторы: Модераторы Математики, Супермодераторы



Кто сейчас на конференции

Сейчас этот форум просматривают: nnosipov


Вы не можете начинать темы
Вы не можете отвечать на сообщения
Вы не можете редактировать свои сообщения
Вы не можете удалять свои сообщения
Вы не можете добавлять вложения

Найти:
Powered by phpBB © 2000, 2002, 2005, 2007 phpBB Group