Простая задачка

[Sirion]

Пусть на множестве $S$ задана тернарная операция $T : S^3 \to S$. Назовём её декомпозицией такую бинарную операцию $B : S^2 \to S$, что

$\forall a, b, c \in S \quad B(B(a, b), c) = T(a, b, c)$

Каким должно быть множество $S$, чтобы для любой тернарной операции на нём существовала декомпозиция?

[mihaild]

Не более чем одноэлементным?

[arseniiv]

Угу, слишком просто. Рассмотрим тернарную операцию $T(a,b,c) = b$. Тогда $B(a,b)$ должно быть инъективным по $b$, чтобы пронести информацию о нём, но при этом $B(B(a,b),c)$ не зависит от $c$. Требования согласуются только если все элементы $S$ равны, т. е. если $|S|\leqslant1$.

[Legioner93]

Так ещё ж проще. Бинарная операция явно определяет соответствующую тернарную. Но последних тупо больше, значит бинарных на всех "не хватит"

$$n^{n^3} > n^{n^2}$$

[arseniiv]

Legioner93 в сообщении #1245988 писал(а):

Но последних тупо больше

Только для конечных $|S|>1$. С бесконечными ломается.

[Sirion]

Да, всё так.

А не знаете, есть какая-нибудь теория про тернарные операции? Я бы что-нибудь почитал перед сном на эту тему.

[arseniiv]

Если говорить о частных интересных алгебраических системах с тернарной операцией, есть, например, груды и их обобщения.

[Sirion]

arseniiv в сообщении #1246011 писал(а):

Если говорить о частных интересных алгебраических системах с тернарной операцией, есть, например, груды и их обобщения.

Интересные штуки. А какая от них польза в народном хозяйстве?

[arseniiv]

Не знаю. Ради интереса я как-то аксиоматизировал аффинное пространство наподобие векторного, но без упоминания последнего, как груду с операцией растяжения вокруг центра, аксиомы для которой напоминали аксиомы связи групповой операции с умножением на скаляр в аксиомах векторного.

[Sirion]

А как изменится ответ задачи, если проводить декомпозицию на две различных бинарных операции? Для бесконечных множеств всё просто, а вот для конечных я пока не сообразил.

[mihaild]

Тернарных операций $n^{n^3}$, пар бинарных - $n^{2n^2}$, при $n > 2$ тернарных просто больше.
Для $n = 2$ пар бинарных столько же, сколько тернарных, но некоторые пары порождают одну и ту же тернарную, так что тоже не получится.

UPD: а для бесконечных без аксиомы выбора можно?..

[arseniiv]

Вот кажется, что и здесь в бесконечном случае должно тоже не получаться, но универсальный контрпример теперь не работает.

mihaild в сообщении #1246321 писал(а):

а для бесконечных без аксиомы выбора можно?..

А с ней получается? (И если получается, зачем без неё?)

[mihaild]

arseniiv в сообщении #1246324 писал(а):

А с ней получается?

Да. В качестве внутренней операции берем какую-нибудь биекцию $S \times S \leftrightarrow S$, в качестве внешней понятно что.

arseniiv в сообщении #1246324 писал(а):

И если получается, зачем без неё?

Не все любят аксиому выбора

[Sirion]

mihaild в сообщении #1246321 писал(а):

Тернарных операций $n^{n^3}$, пар бинарных - $n^{2n^2}$, при $n > 2$ тернарных просто больше.

Действительно, я почему-то не стал считать, а подумал, что пар бинарных будет больше. Всегда надо считать.

mihaild в сообщении #1246325 писал(а):

arseniiv в сообщении #1246324 писал(а):

А с ней получается?

Да. В качестве внутренней операции берем какую-нибудь биекцию $S \times S \leftrightarrow S$, в качестве внешней понятно что.

А для построения такой биекции обязательна аксиома выбора?

[arseniiv]

mihaild в сообщении #1246325 писал(а):

Да. В качестве внутренней операции берем какую-нибудь биекцию $S \times S \leftrightarrow S$, в качестве внешней понятно что.

Ой, и правда же.